Zamiana postaci kanonicznej na postać ogólną i iloczynową

Teraz pokażemy jak zamienić funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-p)^2+q\] na postać ogólną oraz iloczynową.
Żeby zamienić wzór funkcji kwadratowej na postać ogólną, to wystarczy podnieść nawias do kwadratu i uprościć wyrażenie: Możemy zatem zapisać wzory na współczynniki liczbowe \(b\) i \(c\): \[\begin{split} &b=-2ap\\[6pt] &c=ap^2+q \end{split}\] Teraz gdy znamy współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\), to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej: \[f(x)=ax^2+bx+c\]
W praktyce przekształcanie wzoru funkcji kwadratowej na postać ogólną jest bardzo proste i nie wymaga pamiętania żadnych wzorów. Przekonasz się o tym na poniższych przykładach. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci kanonicznej na iloczynową.
Aby zamienić wzór funkcji z postaci kanonicznej na postać iloczynową, to wystarczy obliczyć miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\). Żeby to zrobić, to warto najpierw zamienić wzór funkcji na postać ogólną, a następnie obliczyć miejsca zerowe korzystając z delty i wzorów na \(x_1\) oraz \(x_2\).
Alternatywną metodą jest obliczenie miejsc zerowych wprost z postaci kanonicznej w następujący sposób: Oczywiście powyższy rachunek możemy przeprowadzić pod warunkiem, że liczba \(-\frac{q}{a}\) jest dodatnia (bo nie wolno wyciągać pierwiastka z liczby ujemnej). W przeciwnym przypadku miejsca zerowe nie istnieją.
Przekształć wzór funkcji \(f(x) = (x + 1)^2 - 4\) na postać ogólną i iloczynową.
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu podnosimy nawias do kwadratu i upraszczamy wyrażenie:
\[f(x) = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3\]
Czyli postać ogólna jest następująca: \[f(x) = x^2 + 2x - 3\] Teraz wyznaczymy postać iloczynową. Musimy w tym celu wyliczyć miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\).
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\) wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej:
\(a = 1\)
\(b = 2\)
\(c = -3\)
Obliczymy deltę:
\[\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]
Teraz obliczamy miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\) korzystając z poznanych wzorów: Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać iloczynową: Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca: