Jesteś tutaj: SzkołaFunkcjeFunkcja kwadratowaPostać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowejZamiana postaci iloczynowej na postać ogólną i kanoniczną
◀ Zamiana postaci kanonicznej na postać ogólną i iloczynową

Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną i kanoniczną

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, czyli: \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] Pokażemy teraz jak zamienić postać iloczynową na postać ogólną i kanoniczną.

Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną

Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy wymnożyć nawiasy: \[\begin{split} &f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\[6pt] &f(x)=a(x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2)\\[6pt] &f(x)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2 \end{split}\] Z powyższego rachunku wynikają wzory na współczynniki liczbowe \(b\) i \(c\): \[\begin{split} &b=-a(x_1+x_2)\\[6pt] &c=ax_1x_2 \end{split}\] Gdy znamy już współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\), to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej: \[f(x)=ax^2+bx+c\]
Za chwilę przećwiczymy taką zamianę na konkretnym przykładzie. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci iloczynowej na kanoniczną.

Zamiana postaci iloczynowej na postać kanoniczną

Metodą opisaną powyżej przekształcamy najpierw wzór na postać ogólną: \[f(x)=ax^2+bx+c\] Z postaci ogólnej wyliczamy współczynniki \(p\) i \(q\) korzystając ze wzorów: \[\begin{split}p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt]q&=\frac{-\Delta }{4a}\end{split}\] Po wyliczeniu \(p\) i \(q\) zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-p)^2+q\]
Przekształć wzór funkcji \(f(x) = 2(x + 3)(x - 4)\) na postać ogólną i kanoniczną.
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu wymnażamy nawiasy: \[\begin{split} f(x) &= 2(x + 3)(x - 4)\\[6pt] f(x) &= (2x + 6)(x - 4)\\[6pt] f(x) &= 2x^2 - 8x + 6x - 24\\[6pt] f(x) &= 2x^2 - 2x - 24 \end{split}\] Czyli postać ogólna jest następująca: \[f(x) = 2x^2 - 2x - 24\] Teraz wyznaczymy postać kanoniczną. Musimy w tym celu wyliczyć współczynniki \(p\) i \(q\).
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\) wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej: \[\begin{split} &a = 2\\[6pt] &b = -2\\[6pt] &c = -24\\[6pt] \end{split}\] Obliczymy jeszcze deltę: \[\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 2\cdot (-24) = 4 + 192 = 196\] Teraz obliczamy współczynniki \(p\) i \(q\) ze znanych wzorów: \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}\\[6pt] q&=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-196}{4\cdot 2}=-\frac{49}{2} \end{split}\] Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną: \[\begin{split} f(x)&=a(x-p)^2+q\\[6pt] f(x)&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{2}\\[6pt] \end{split}\] Zatem ostatecznie postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest następująca:
\[f(x)=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{2}\]