Dany jest ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \[ \begin{cases} a_1 = 20, \\ a_{n+1} = a_n - 1 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Uzasadnij, że ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny.
Ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny jeżeli różnica między dwoma kolejnymi wyrazami (czyli wyrażenie \(a_{n+1} - a_n \)) ma stały znak.
Badamy znak różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami:
\(a_{n+1} - a_n \) \(= (a_n -1) - a_n \) \(= -1\)
Otrzymaliśmy różnicę stałą równą \((-1)\), zatem ciąg jest malejący, czyli jest monotoniczny. \(_{c.n.d.}\)