Dany jest ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \[\begin{cases} a_1=2 \\ a_{n+1}=2-5a_n \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).
Najpierw wyznaczamy kolejne wyrazy:
- \(a_1 = 2\)
- \(a_2 = 2 - 5\cdot a_1 = 2 - 5\cdot 2 = 2 - 10 = -8\)
- \(a_3 = 2 - 5\cdot a_2 = 2 - 5\cdot(-8) = 2 + 40 = 42\)
- \(a_4 = 2 - 5\cdot a_3 = 2 - 5\cdot 42 = 2 - 210 = -208\)
- \(a_5 = 2 - 5\cdot a_4 = 2 - 5\cdot(-208) = 2 + 1040 = 1042\)
Teraz sumujemy:
\(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \) \(= 2 + (-8) + 42 + (-208) + 1042\) \(= 2 - 8 + 42 - 208 + 1042 = 870\)
Odpowiedź: \(870\).