Wykres funkcji liniowej
Poziom podstawowy
Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.
Żeby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Żeby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=x+3\). Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą: 
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=0+3=3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,3)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=1+3=4\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,4)\). Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=2x-1\). Teraz możemy zaznaczyć punkty na wykresie i narysować prostą: 
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=2\cdot 0-1=0-1=-1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-1)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=2\cdot 1-1=2-1=1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,1)\). Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=-\frac{1}{3}x-2\). Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą: 
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 0-2=0-2=-2\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-2)\).
Dla \(x=3\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 3-2=-1-2=-3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((3,-3)\). Lekcja 1. Funkcja liniowa - praktyczny sposób na rysowanie wykresu
Na filmie pokazuję praktyczną metodę na szybkie rysowanie dokładnych wykresów funkcji liniowych.
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja liniowa: \[y=ax+b\]- jest rosnąca jeżeli \(a \gt 0\),
- jest malejąca jeżeli \(a \lt 0\),
- jest stała jeżeli \(a = 0\).
Na powyższym rysunku prosta jest rosnąca, czyli \(a \gt 0\). Dla jakiego parametru \(m\) funkcja \(f(x)=(2m+3)x-7\) jest rosnąca?
Funkcja \(f\) jest rosnąca, jeżeli: \[\begin{split} 2m+3&\gt0\\[6pt] 2m&\gt-3\\[6pt] m&\gt-\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem funkcja \(f\) jest rosnąca dla \(m \gt-\frac{3}{2}\).
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), to argument \(x\) spełniający równanie: \[ax+b=0\] Z powyższego równania wynika bezpośredni wzór: \[x=-\frac{b}{a}\]Oblicz miejsce zerowe funkcji \(f(x)=5x-7\).
Przyrównujemy wzór funkcji do zera: \[\begin{split} 5x-7&=0\\[6pt] 5x&=7\\[6pt] x&=\frac{7}{5} \end{split}\] Zatem miejscem zerowym funkcji \(f\) jest argument \(x=\frac{7}{5}\).
Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste o równaniach \[\begin{split} &y=a_1x+b_1\\[6pt] &y=a_2x+b_2 \end{split}\]- są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli: \[a_1=a_2\]
- są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność: \[a_1\cdot a_2=-1\]
Zadanie 1.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\). 
Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)? A.\(a\lt 0\) i \(b\lt 0\)
B.\(a\lt 0\) i \(b>0\)
C.\(a>0\) i \(b\lt 0\)
D.\(a>0\) i \(b>0\)
Zadanie 2.
Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a>0\) i \(b\lt 0\). Wskaż ten wykres. 
Zadanie 3.
Funkcja \(f(x) = 0{,}5x - 6\)
A.jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, 6)\)
B.jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, 6)\)
C.jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, -6)\)
D.jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, -6)\)
Zadanie 4.
Funkcja liniowa \( f(x)=(m^2-4)x+2 \) jest malejąca, gdy
A.\(m\in (-\infty,-2) \)
B.\(m\in (2,+\infty) \)
C.\(m\in \lbrace -2,2 \rbrace \)
D.\(m\in (-2,2) \)
Zadanie 5.
Funkcja liniowa \( f(x)=ax+b\ \) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
A.\(a>0\) i \( b>0 \)
B.\(a\lt 0\) i \( b\lt 0 \)
C.\(a\lt 0\) i \( b>0 \)
D.\(a>0\) i \( b\lt 0 \)
Zadanie 6.
Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\). 
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy A.\( a=-\frac{3}{2} \)
B.\( a=-\frac{2}{3} \)
C.\( a=-\frac{2}{5} \)
D.\( a=-\frac{3}{5} \)
Zadanie 7.
Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych
A.\( (0,-3) \)
B.\( (-3,0) \)
C.\( (0,2) \)
D.\( (0,3) \)
Zadanie 8.
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek
A.\( m\gt\frac{1}{\sqrt{5}} \)
B.\( m\gt1-\sqrt{5} \)
C.\( m\lt\sqrt{5}-1 \)
D.\( m\lt\frac{1}{\sqrt{5}} \)
Zadanie 9.
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=\frac{8-3x}{2}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(A\) i \(B\). Pole trójkąta \(ABO\), w którym punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych, wynosi:
A.\( 10\frac{2}{3} \)
B.\( 5\frac{1}{3} \)
C.\( 21\frac{1}{3} \)
D.\( 7\frac{1}{2} \)
Zadanie 10.
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem
A.\( m=1 \)
B.\( m=2 \)
C.\( m=-1 \)
D.\( m=0 \)
Zadanie 11.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax+b\). 
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność A.\( a+b\gt0 \)
B.\( a+b=0 \)
C.\( a\cdot b\gt0 \)
D.\( a\cdot b\lt0 \)
Zadanie 12.
Dana jest funkcja liniowa \(f\) określona wzorem\(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji \(f\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki A.\( a\gt 0 \) i \(b\gt 0\).
B.\( a\gt 0 \) i \(b\lt 0\).
C.\( a\lt 0 \) i \(b\gt 0\).
D.\( a\lt 0 \) i \(b\lt 0\).
Zadanie 13.
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax + b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\). 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) oraz liczba \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki: A.\( a\gt 0\ \) i \(\ b\gt 0\)
B.\( a\gt 0\ \) i \(\ b\lt 0 \)
C.\( a\lt 0\ \) i \(\ b\gt 0 \)
D.\( a\lt 0\ \) i \(\ b\lt 0 \)
Zadanie 14.
Funkcja liniowa \(f(x)=6-2x\) przyjmuje wartości nieujemne wtedy i tylko wtedy, gdy:
A.\( x\in (-\infty, 3\rangle \)
B.\( x\in \langle 3, +\infty ) \)
C.\( x\in (-\infty, 3) \)
D.\( x\in (3, +\infty ) \)
Zadanie 15.
Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Zadanie 16.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x) = (2m + 3)x + 5\) oraz \(g(x) = -x\) nie mają punktów wspólnych dla A.\( m=-2 \)
B.\( m=-1 \)
C.\( m=1 \)
D.\( m=2 \)