Wykres funkcji kwadratowej
Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci: \[f(x)=ax^2+bx+c\] gdzie literki \(a\), \(b\) oraz \(c\) są współczynnikami liczbowymi.
Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola.
Wykres funkcji \[f(x)=x^2\] wygląda następująco: 
Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli: | \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Ramiona paraboli są skierowane do góry ponieważ współczynnik \(a\) jest dodatni.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\). Wykres funkcji \[f(x)=-x^2\] wygląda następująco: 
Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=-x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=-1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli: | \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)=-x^2\) | \(-4\) | \(-1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-4\) |
Ramiona paraboli są skierowane w dół ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\). Każda parabola ma wierzchołek oraz dwa ramiona. 
Metoda rysowania wykresu funkcji kwadratowej
Żeby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej, to trzeba wcześniej:- ustalić w którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
Jeżeli \(a \gt 0\) to do góry, a jeżeli \(a \lt 0\) to do dołu. - obliczyć (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji: \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \end{split}\] gdzie \(\Delta =b^2-4ac\).
- obliczyć wierzchołek paraboli \(W=(p,q)\): \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt]q&=\frac{-\Delta }{4a} \end{split}\]
- obliczyć punkt przecięcia z osią \(y\)-ów.
Punkt ten ma współrzędne: \((0, f(0))\), czyli \((0,c)\).
Narysuj wykres funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 8\) i omów jej własności.
Współczynniki liczbowe tej funkcji kwadratowej, to: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=-2\\[6pt] &c=-8 \end{split}\]
Współczynnik \(a\) jest dodatni czyli ramiona paraboli są skierowane do góry.
Liczymy miejsca zerowe: \[\Delta =b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36\] \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2-6}{2}=-2\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2+6}{2}=4 \end{split}\]
Liczymy współrzędne wierzchołka: \[\begin{split} &p=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\\[6pt] &q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-36}{4}=-9 \end{split}\] Czyli wierzchołek paraboli jest w punkcie \(W=(1,-9)\).
Liczymy punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów: \[f(0)=c=-8\] Czyli punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów ma współrzędne \((0,-8)\).
Zaznaczamy w układzie współrzędnych wyliczone punkty i rysujemy wykres: 
Teraz omówimy własności tej funkcji.
- Dziedzina: \(\mathbb{R}\).
- Zbiór wartości: \(\langle -9;+\infty )\).
- Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x_1 = -2\) oraz \(x_2 = 4\).
- Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy \(x\in (-\infty ; -2) \cup (4 +\infty )\).
- Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy \(x\in (-2; 4)\).
- Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: \((0, -8)\).
- Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
- Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
- Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
- Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.
Wykres dowolnej funkcji, to możesz narysować za pomocą programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.
Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
A.\( x=-8 \)
B.\( x=-4 \)
C.\( x=4 \)
D.\( x=8 \)
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\). 
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek. 
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
A.\( (0,2) \)
B.\( (0,-2) \)
C.\( (-2,0) \)
D.\( (2,0) \)
Miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(y=-(-x-7)(1+x)\) jest
A.\( x=7 \)
B.\( x=1 \)
C.\( x=0 \)
D.\( x=-1 \)
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
A.\( (3,0) \)
B.\( (0,3) \)
C.\( (-3,0) \)
D.\( (0,-3) \)
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \( y = -3(x-7)(x+2) \) są
A.\(x=7, x=-2 \)
B.\(x=-7, x=-2 \)
C.\(x=7, x=2 \)
D.\(x=-7, x=2 \)
Liczby \(x_1, x_2\) są rozwiązaniami równania \(4(x + 2)(x - 6) = 0\) . Suma \({x_1}^2 + {x_2}^2\) jest równa
A.\( 16 \)
B.\( 32 \)
C.\( 40 \)
D.\( 48 \)
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).
A.\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)
B.\(f(x)=(2-x)^2+3 \)
C.\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)
D.\(f(x)=(2-x)^2-3 \)
Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A.\(y=1 \)
B.\(y=-1 \)
C.\(y=-3 \)
D.\(y=-5 \)
Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że
A.\(a=3 \)
B.\(a=0 \)
C.\(a=-1 \)
D.\(a=-3 \)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?
A.\(-7 \)
B.\(-4 \)
C.\(-3 \)
D.\(-2 \)
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).
A.\( y=-2x^2+2 \)
B.\( y=-(x+1)^2-2 \)
C.\( y=2(x-1)^2+2 \)
D.\( y=(x+1)^2-2 \)
Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)
A.\( \langle -2, \infty ) \)
B.\( \langle 2, \infty ) \)
C.\( \langle -3, \infty ) \)
D.\( \langle 3, \infty ) \)
Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)
A.\( \langle -5, \infty ) \)
B.\( \langle 5, \infty ) \)
C.\( (-\infty , -5 \rangle \)
D.\( (-\infty , 5 \rangle \)
Oblicz największą wartość funkcji \(f(x)=-2x^2+16x-15\) w przedziale \(\langle -2,3 \rangle\).
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).
Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
A.\((-1,5)\)
B.\( ( -\infty ,2 \rangle \)
C.\(\langle 2,+\infty )\)
D.\((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)
Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
A.\( (-2, -4) \)
B.\( (-2, 4) \)
C.\( (2, -4) \)
D.\( (2, 4) \)
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x+1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy
A.\( c=-6 \)
B.\( c=-3 \)
C.\( c=3 \)
D.\( c=6 \)
Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y = ax^2 + bx + c\). 
Wynika z tego, że:
Wynika z tego, że: A.\( b\lt 0 \)
B.\( b>0 \)
C.\( b\le 0 \)
D.\( b\ge 0 \)
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \( y=x^2 -2x-3 \) leży na prostej:
A.\(y=-4 \)
B.\(y=4 \)
C.\(y=1 \)
D.\(y=2 \)
Rysunek obok przedstawia wykres funkcji kwadratowej \( f \). Zapisz wzór funkcji \( f \) w postaci ogólnej i podaj jej zbiór wartości. 
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \( f \). 
Funkcja \( f \) określona jest wzorem
Funkcja \( f \) określona jest wzorem A.\(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
B.\(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
C.\(f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)
D.\(f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)
Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \( f(x)=(x-2)(x+4) \) . 
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \( ( -\infty, -3\rangle \) , może być określona wzorem
A.\(y=(x+2)^2-3 \)
B.\(y=-(x+3)^2 \)
C.\(y=-(x-2)^2-3 \)
D.\(y=-x^2+3 \)
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \( A=(2, 4) \), która jest wykresem funkcji kwadratowej \( f \). 
Funkcja \( f \) może być opisana wzorem
Funkcja \( f \) może być opisana wzorem A.\(f(x)=(x-2)^2+4 \)
B.\(f(x)=(x+2)^2+4 \)
C.\(f(x)=-(x-2)^2+4 \)
D.\(f(x)=-(x+2)^2+4 \)
Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
A.\( y=2\cdot (x+3)^2+5 \)
B.\( y=-2\cdot (x-3)^2+5 \)
C.\( y=-2\cdot (x+3)^2+5 \)
D.\( y=-2\cdot (x-3)^2-5 \)