Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci: \[f(x)=ax^2+bx+c\] gdzie literki \(a\), \(b\) oraz \(c\) są współczynnikami liczbowymi.
Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola.
Wykres funkcji \[f(x)=x^2\] wygląda następująco:

Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(f(x)=x^2\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Ramiona paraboli są skierowane do góry ponieważ współczynnik \(a\) jest dodatni.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\).
Wykres funkcji \[f(x)=-x^2\] wygląda następująco:

Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(f(x)=-x^2\) | \(-4\) | \(-1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-4\) |
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=-x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=-1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Ramiona paraboli są skierowane w dół ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\).
Każda parabola ma
wierzchołek oraz dwa
ramiona.
Metoda rysowania wykresu funkcji kwadratowej
Żeby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej, to trzeba wcześniej:
- ustalić w którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
Jeżeli \(a \gt 0\) to do góry, a jeżeli \(a \lt 0\) to do dołu. - obliczyć (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji: \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \end{split}\] gdzie \(\Delta =b^2-4ac\).
- obliczyć wierzchołek paraboli \(W=(p,q)\): \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt]q&=\frac{-\Delta }{4a} \end{split}\]
- obliczyć punkt przecięcia z osią \(y\)-ów.
Punkt ten ma współrzędne: \((0, f(0))\), czyli \((0,c)\).
Narysuj wykres funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 8\) i omów jej własności.
Współczynniki liczbowe tej funkcji kwadratowej, to: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=-2\\[6pt] &c=-8 \end{split}\]
Współczynnik \(a\) jest dodatni czyli ramiona paraboli są skierowane do góry.
Liczymy miejsca zerowe: \[\Delta =b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36\] \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2-6}{2}=-2\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2+6}{2}=4 \end{split}\]
Liczymy współrzędne wierzchołka: \[\begin{split} &p=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\\[6pt] &q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-36}{4}=-9 \end{split}\] Czyli wierzchołek paraboli jest w punkcie \(W=(1,-9)\).
Liczymy punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów: \[f(0)=c=-8\] Czyli punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów ma współrzędne \((0,-8)\).
Zaznaczamy w układzie współrzędnych wyliczone punkty i rysujemy wykres:
Teraz omówimy własności tej funkcji.
- Dziedzina: \(\mathbb{R}\).
- Zbiór wartości: \(\langle -9;+\infty )\).
- Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x_1 = -2\) oraz \(x_2 = 4\).
- Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy \(x\in (-\infty ; -2) \cup (4 +\infty )\).
- Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy \(x\in (-2; 4)\).
- Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: \((0, -8)\).
- Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
- Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
- Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
- Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).
\(b=-16\), \(c=32\)