Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Poziom podstawowy
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne dodatnie liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to środkowa liczba jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych: \[b=\sqrt{a\cdot c}\] Skoro liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to możemy obliczyć iloraz tego ciągu na dwa sposoby: \[q=\frac{b}{a}\quad \text{oraz}\quad q=\frac{c}{b}\] Zatem mamy: \[\begin{split}\frac{b}{a}&=\frac{c}{b}\\[6pt] b^2&=a\cdot c \end{split}\] Skoro \(a,b\) i \(c\) są dodatnie, to obie strony równania są dodatnie, więc możemy wyciągnąć pierwiastek i bierzemy tylko rozwiązanie dodatnie: \[b=\sqrt{a\cdot c}\] Co należało udowodnić.
Z powyższego dowodu otrzymaliśmy jeszcze lepszą własność ciągu geometrycznego, która jest spełniona również dla liczb niedodatnich. Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to kwadrat środkowej jest równy iloczynowi liczb skrajnych: \[b^2=a\cdot c\]Zadanie 1.
Liczby \(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla
A.\( x=0 \)
B.\( x=0 \) lub \(x=1\)
C.\( x=1 \)
D.\( x=-1 \)
Zadanie 2.
Liczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.
A.\( -3 \)
B.\( -1{,}5 \)
C.\( 1 \)
D.\( 15 \)
Zadanie 3.
Liczby \(12, 18, 2x + 1\) są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że
A.\( x=11\frac{1}{2} \)
B.\( x=12 \)
C.\( x=12\frac{1}{2} \)
D.\( x=13 \)
Zadanie 4.
Liczby \(3x−4\), \(8\), \(2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy
A.\( x=-6 \)
B.\( x=0 \)
C.\( x=6 \)
D.\( x=12 \)
Zadanie 5.
Liczby: \( x-2,\ 6,\ 12 \), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \( x \) jest równa
A.\(0 \)
B.\(2 \)
C.\(3 \)
D.\(5 \)
Zadanie 6.
Liczby \(2x, 16, x\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
Zadanie 7.
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Zadanie 8.
Ciąg \((2\sqrt{2},4,a)\) jest geometryczny. Wówczas
A.\( a=8\sqrt{2} \)
B.\( a=4\sqrt{2} \)
C.\( a=8-2\sqrt{2} \)
D.\( a=8+2\sqrt{2} \)
Zadanie 9.
Liczby \(64, x, 4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
Zadanie 10.
Ciąg \((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
A.\( x=4 \)
B.\( x=5 \)
C.\( x=7 \)
D.\( x=9 \)
Zadanie 11.
Wykaż, że liczby \(\sqrt{5}-2,\ \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{5}+2}{4}\) tworzą ciąg geometryczny.
Zadanie 12.
Wykaż, że liczby \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}},\ \frac{2+\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{4}\) tworzą ciąg geometryczny.
Zadanie 13.
Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa \(21\), a ich iloczyn wynosi \(216\). Znajdź ten ciąg.
Zadanie 14.
Jaką jednakową liczbę należy dodać do każdej z liczb \(1, 10, 46,\) aby otrzymane sumy utworzyły ciąg geometryczny?
Zadanie 15.
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
Poziom rozszerzony
Zadanie 16.
Znajdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczny, który ma własność: jeśli do drugiej liczby dodamy \(8\), ciąg zmieni się na arytmetyczny, jeśli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy \(64\), ciąg znów stanie się geometryczny.