Trójkąt równoboczny
Poziom podstawowy
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki tej samej długości. Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego są równe \(60^\circ \). 
Wzór na wysokość: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Wzór na pole: \[P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Promień okręgu wpisanego: \[r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}\] Promień okręgu opisanego: \[R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] Własności trójkąta równobocznego: - Wysokości, dwusieczne, symetralne i środkowe pokrywają się i przecinają się w jednym punkcie.
- Środek okręgu opisanego i wpisanego leży na przecięciu wysokości.
- Wysokości przecinają się w stosunku \(2:1\)
Zadanie 1.
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(3\sqrt{3}\). Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe
A.\( 2\pi\sqrt{3} \)
B.\( 4\pi\sqrt{3} \)
C.\( 6\pi \)
D.\( 12\pi \)
Zadanie 2.
W trójkącie równobocznym \(ABC\) dana jest wysokość \(|CD|=3\). Średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość:
A.\( 4 \)
B.\( \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
C.\( \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
D.\( 2 \)
Zadanie 3.
Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}\pi \). Obwód tego trójkąta jest równy:
A.\( 12\sqrt{3} \)
B.\( 24 \)
C.\( 12 \)
D.\( 36 \)
Zadanie 4.
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe
A.\(36\pi \)
B.\(9\pi \)
C.\(18\sqrt{3}\pi \)
D.\(12\pi \)
Zadanie 5.
Na bokach trójkąta równobocznego \(ABC\) (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(CBGH\) i \(ACKL\). Udowodnij, że trójkąt \(KGE\) jest równoboczny. 
Zadanie 6.
Małe trójkąty równoboczne o bokach długości \(1\) układano obok siebie tak, że uzyskiwano kolejne, coraz większe trójkąty równoboczne, według reguły przedstawionej na poniższym rysunku. 
Ile małych trójkątów równobocznych należy użyć, aby ułożyć trójkąt równoboczny o podstawie równej \(5\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych
Ile małych trójkątów równobocznych należy użyć, aby ułożyć trójkąt równoboczny o podstawie równej \(5\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych A.\( 9 \)
B.\( 16 \)
C.\( 25 \)
D.\( 50 \)
Zadanie 7.
Obwód trójkąta równobocznego o polu \( \sqrt{3} \) jest równy:
A.\(1 \)
B.\(3 \)
C.\(6 \)
D.\(2 \)
Zadanie 8.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( 8 \). Wysokość tego trójkąta jest równa
A.\(4\sqrt{3} \)
B.\(8\sqrt{3} \)
C.\(12 \)
D.\(6 \)
Zadanie 9.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Obwód tego trójkąta jest równy
A.\(16\)
B.\(32\)
C.\(48\)
D.\(64\)
Zadanie 10.
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe
A.\( 36\pi \)
B.\( 9\pi \)
C.\( 18\sqrt{3}\pi \)
D.\( 12\pi \)
Zadanie 11.
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
A.\( 36 \)
B.\( 18 \)
C.\( 12 \)
D.\( 6 \)
Zadanie 12.
Punkty \(A, B, C\) leżące na okręgu o środku \(S\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. 
Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa
Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa A.\( 120^\circ \)
B.\( 90^\circ \)
C.\( 60^\circ \)
D.\( 30^\circ \)
Zadanie 13.
Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \(B, C, N\) są współliniowe. Na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM| = |CN|\). Wykaż, że \(|BM| = |MN|\). 
Zadanie 14.
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość
A.\( 3\sqrt{2} \)
B.\( 2\sqrt{3} \)
C.\( 2\sqrt{6} \)
D.\( 6\sqrt{2} \)
Zadanie 15.
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}\pi ^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa
A.\( \frac{\pi}{3} \)
B.\( \pi \)
C.\( \sqrt{3}\pi \)
D.\( 3\pi \)
Zadanie 16.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) oraz kwadrat o boku \(b\). Długość boku \(b\) jest dwa razy mniejsza od długości boku \(a\). Oblicz, ile razy pole trójkąta jest większe od pola kwadratu.
Zadanie 17.
Bok trójkąta równobocznego ma długość \(8\) cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa:
A.\( 2\frac{2}{3} \) cm
B.\( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) cm
C.\( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) cm
D.\( 4\sqrt{3} \) cm
Zadanie 18.
Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.