Stopień wielomianu

Drukuj

Poziom podstawowy

W rozdziale Definicja wielomianu została podana definicja stopnia jednomianu. Przypomnijmy krótko, że stopień jednomianu \(y=ax^n\) jest równy \(n\).

Definicja

Stopień wielomianu – to najwyższy stopień występujących w nim jednomianów.

Wielomian: \[w(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\] gdzie \(a_n\ne 0\), jest wielomianem stopnia \(n\), co oznaczamy: \[\operatorname{st}\Bigl(w(x)\Bigl)=n \quad \text{lub}\quad \deg\Bigl(w(x)\Bigl)=n\] (oznaczenie \(\operatorname{st}(w)\) pochodzi od polskiego słowa stopień, a oznaczenie \(\deg(w)\) od angielskiego słowa degree).

Przykłady wielomianów 1. stopnia:

\(w(x)=5x+2\)
\(w(x)=3x-1\)
\(w(x)=-x+\sqrt{2}\)
\(w(x)=\frac{3}{7}x+10\)
\(w(x)=\frac{1}{2}-2x\)

We wzorze każdego z powyższych wielomianów \(x\) występuje w pierwszej potędze, dlatego są to wielomiany pierwszego stopnia.

Przykłady wielomianów 2. stopnia:

\(w(x)=5x^2+2\)
\(w(x)=3x^2-1\)
\(w(x)=-x^2+\sqrt{2}\)
\(w(x)=\frac{3}{7}x^2+6x+10\)
\(w(x)=\frac{1}{2}-2x^2+x\)
\(w(x)=(x+1)(x-2)\)
Ten wielomian również jest stopnia drugiego. Gdyby wymnożyć te dwa nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w drugiej potędze: \[w(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2\]

Wszystkie powyższe wielomiany są drugiego stopnia, ponieważ w każdym występuje \(x\) w drugiej potędze.

Przykłady wielomianów 3. stopnia:

\(w(x)=5x^3+2\)
\(w(x)=77x^3+2x^2-x-1\)
\(w(x)=-x^3-x^2+\sqrt{2}x+1\)
\(w(x)=\frac{3}{7}x^3\)
\(w(x)=\frac{1}{2}-2x^3+x\)
\(w(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\)
Ten wielomian również jest stopnia trzeciego. Gdyby wymnożyć te trzy nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w trzeciej potędze: \[\begin{split} w(x) &=(x+1)(x-2)(x+3)=\\[6pt] &=(x^2-x-2)(x+3)=\\[6pt] &=x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6=\\[6pt] &=x^3+2x^2-5x-6 \end{split}\]

Wszystkie powyższe wielomiany są trzeciego stopnia, ponieważ w każdym występuje \(x\) w trzeciej potędze.

Wielomian \[w(x)=3x^5-x^3+11x^2+7\] jest stopnia 5. ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(5\).

Wielomian \[w(x)=-22x^{51}+16x^{10}\] jest stopnia 51. ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(51\).

Własności stopni wielomianów

Stopień iloczynu wielomianów \(f\) i \(g\) jest równy sumie ich stopni: \[\deg(f\cdot g)=\deg(f) + \deg(g)\]
Stopień sumy wielomianów \(f\) i \(g\) jest nie większy niż większy z ich stopni: \[\deg(f+g)\leqslant \max\Bigl(\deg(f), \deg(g)\Bigl)\]

Dane są wielomiany \(f(x)=5x^3-2x+1\) oraz \(w(x)=4x^2-5x^3\). Oblicz stopień wielomianu \(h(x)=f(x)+g(x)\).

Wyznaczamy wielomian \(h(x)\):

\[h(x)=5x^3-2x+1+4x^2-5x^3=4x^2-2x+1\]

Zatem: \[\deg\Bigl(h(x)\Bigl)=2\] Stopień sumy wielomianów \(f+g\) jest niższy od stopni wielomianów \(f\) oraz \(g\), ponieważ przy sumowaniu wyrazy z najwyższymi potęgami uległy redukcji.

Zadanie 1.

Dane są wielomiany \(W(x) = x^3 + 3x^2 + x - 11\) i \(V(x) = x^3 + 3x^2 + 1\). Stopień wielomianu \(W(x) - V(x)\) jest równy

A.\( 0 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( 3 \)

Film

Odp

Zalicz

Link

Zadanie 2.

Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy

A.\(6 \)

B.\(5 \)

C.\(4 \)

D.\(3 \)

Film

Odp

Zalicz

Link

Zadanie 3.

Stopień wielomianu \(W(x)=(x-1)^2(2x+1)(4x^3-3)\) jest równy

A.\( 5 \)

B.\( 6 \)

C.\( 8 \)

D.\( 4 \)

Film

Odp

Zalicz

Link

Zadanie 4.

Dane są wielomiany \(W(x)=x^4-1\) oraz \(V(x)=x^4+1\). Stopień wielomianu \(W(x)+V(x)\) jest równy

A.\( 4 \)

B.\( 8 \)

C.\( 16 \)

D.\( 0 \)

Film

Odp

Zalicz

Link