Sposoby na obliczanie sumy szeregu
Poziom studiów
Najłatwiejsze w sumowaniu są szeregi geometryczne, tzn. szeregi postaci: \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_1 q^n=a_1+a_1 q+a_1 q^2+a_1 q^3+\cdots \] Dla \(|q|\lt 1\) zachodzi wzór: \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_1 q^n=a_1 \cdot \frac{1}{1-q} \] Dla \(|q|\gt 1\) szereg geometryczny jest rozbieżny. Dla innych szeregów dokładne obliczenie sumy jest zazwyczaj zadaniem bardzo trudnym, dlatego przeważnie ograniczamy się jedynie do badania ich zbieżności.
Okazuje się, że czasami można we w miarę prosty sposób obliczyć sumę szeregu liczbowego, przy wykorzystaniu pewnych sprytnych metod. Metody te zostały omówione w rozwiązaniach wideo poniższych zadań.Zadanie 1.
Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \).
Zadanie 2.
Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \).
Zadanie 3.
Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} \).
Zadanie 4.
Oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left (\frac{n}{n+1}\right )\).
Zadanie 5.
Oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left (1+\frac{1}{n}\right )\).