Różne zadania z ciągu geometrycznego
Poziom podstawowy
Zadanie 1.
Trzy lata temu pewne miasteczko liczyło \(25\ 000\) mieszkańców. Przez trzy ostatnie lata każdego roku liczba mieszkańców zmniejszyła się o \(10\%\). Oblicz, ile osób mieszka w tym miasteczku.
Zadanie 2.
Kwadrat \(K_1\) ma bok długości \(a\). Obok niego rysujemy kolejno kwadraty \(K_2, K_3, K_4,...\) takie, że kolejny kwadrat ma bok połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). 
Wyznacz pole kwadratu \(K_{12}\).
Wyznacz pole kwadratu \(K_{12}\).Zadanie 3.
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Zadanie 4.
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \)
B.\( q=\frac{1}{3} \)
C.\( q=3 \)
D.\( q=\sqrt[3]{3} \)
Zadanie 5.
Z beczki zawierającej \(30\) litrów wina karczmarz zaczerpnął \(1\) litr, a następnie dolał \(1\) litr wody. Postąpił tak dziesięć razy. Ile czystego wina pozostało w beczce?
Zadanie 6.
Między liczby \(3\) i \(\frac{16}{2187}\) wstaw trzy liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.
Zadanie 7.
Między liczby \(12\) i \(2916\) wstaw cztery liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.
Zadanie 8.
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równa się \(45\), a szósty wynosi \(1215\). Znajdź sumę ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 9.
Dwa wyrazy środkowe ciągu geometrycznego, mającego szesnaście wyrazów, równają się \(\frac{7}{3}\) i \(\frac{7}{9}\). Znajdź pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
Zadanie 10.
Ciąg geometryczny składa się z pięciu wyrazów, których suma wynosi \(124\). Iloraz sumy wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest \(4{,}25\). Wyznacz ten ciąg.
Zadanie 11.
Wyznacz rosnący ciąg geometryczny, wiedząc, że suma wyrazów skrajnych jest równa \(34\), iloczyn tych wyrazów \(64\), a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi \(62\).
Zadanie 12.
Znajdź ciąg geometryczny o czterech wyrazach, w którym wyraz trzeci zmniejszony o sumę dwóch pierwszych jest równy \(3\), a czwarty wyraz zmniejszony o sumę dwóch środkowych jest równy \(6\).
Zadanie 13.
Wyznacz czterowyrazowy ciąg geometryczny, wiedząc, że iloczyn wyrazów skrajnych tego ciągu jest równy \(27\), a suma kwadratów dwóch pierwszych wyrazów wynosi \(10\).
Zadanie 14.
Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono \(61\) złotych. Za pierwszą i drugą razem zapłacono o \(11\) złotych więcej niż za trzecią. Ile zapłacono za każdą z książek?
Zadanie 15.
Piłka odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość wynoszącą \(\frac{2}{3}\) poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeżeli po szóstym odbiła się na wysokość \(32\) cm?
Zadanie 16.
Pan Jan złożył do banku \(2500\) zł na cztery lata na procent składany. Jaką kwotę będzie miał na koncie po tym okresie, jeżeli oprocentowanie w banku wynosi \(10\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się:
- po roku
- po \(6\) miesiącach
- po \(3\) miesiącach
Poziom rozszerzony
Zadanie 17.
Liczbę \(272\) przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o \(48\) większy od pierwszego.
Zadanie 18.
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) suma \(3+33+333+\ldots+\underbrace{333 \ldots 3}_{n \text { cyfr }}\) jest równa \(\frac{10^{n+1}-9 n-10}{27}\).
Zadanie 19.
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) suma \(12+1212+121212+\ldots+\underbrace{121212 \ldots 12}_{n \text { grup }(12)}\) jest równa \(\frac{4}{33} \cdot \frac{100^{n+1}-99 n-100}{99}\).
Zadanie 20.
Wykaż, że liczba \(\underbrace{444 \ldots 4}_{20 \text { cyfr }}-\underbrace{888 \ldots 8}_{10 \text { cyfr }}\) jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.