Równanie okręgu
Poziom podstawowy
Twierdzenie
Okrąg o środku w punkcie \((a,b)\) i promieniu \(r\gt0\), jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny \((x,y)\) spełniających równanie: \[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\] Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu w postaci kanonicznej.
Zadanie 1.
Dany jest okrąg o równaniu \((x+3)^2+(y-4)^2=25\) . Środkiem \(S\) tego okręgu jest punkt:
A.\( S=(-3,-4) \)
B.\( S=(3,4) \)
C.\( S=(3,-4) \)
D.\( S=(-3,4) \)
Zadanie 2.
Odległość między środkami okręgów o równaniach \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) oraz \(x^2+y^2=10\) jest równa
A.\( \sqrt{5} \)
B.\( \sqrt{10}-3 \)
C.\( 3 \)
D.\( 5 \)
Zadanie 3.
Okrąg o równaniu \((x+2)^2+(y-1)^2=13\) ma promień równy
A.\( \sqrt{13} \)
B.\( 13 \)
C.\( 8 \)
D.\( 2\sqrt{2} \)
Zadanie 4.
Dane są punkty \(S=(2, 1)\), \(M=(6, 4)\). Równanie okręgu o środku \(S\) i przechodzącego przez punkt \(M\) ma postać
A.\( (x-2)^2+(y-1)^2=5 \)
B.\( (x-2)^2+(y-1)^2=25 \)
C.\( (x-6)^2+(y-4)^2=5 \)
D.\( (x-6)^2+(y-4)^2=25 \)
Zadanie 5.
Równanie \((x+6)^2+y^2=4\) opisuje okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Wówczas:
A.\( S=(-6,0),\ r=4 \)
B.\( S=(6,0),\ r=4 \)
C.\( S=(6,0),\ r=2 \)
D.\( S=(-6,0),\ r=2 \)
Zadanie 6.
Okrąg o równaniu \((x+5)^2+(y-9)^2=4\) ma środek \(S\) i promień \(r\). Wówczas:
A.\( S=(5,-9), r=2 \)
B.\( S=(5,-9), r=4 \)
C.\( S=(-5,9), r=2 \)
D.\( S=(-5,9), r=4 \)
Zadanie 7.
Dany jest okrąg o równaniu \((x+4)^2+(y-6)^2=100\) . Środek tego okręgu ma współrzędne
A.\( (-4,-6) \)
B.\( (4,6) \)
C.\( (4,-6) \)
D.\( (-4,6) \)
Zadanie 8.
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać: 
A.\( (x-2)^2+(y-1)^2=9 \)
B.\( (x-2)^2+(y-1)^2=3 \)
C.\( (x+2)^2+(y+1)^2=9 \)
D.\( (x+2)^2+(y+1)^2=3 \)
Zadanie 9.
Wskaż równanie okręgu o promieniu \(6\).
A.\( x^2+y^2=3 \)
B.\( x^2+y^2=6 \)
C.\( x^2+y^2=12 \)
D.\( x^2+y^2=36 \)
Zadanie 10.
Na okręgu o równaniu \( (x-2)^2+(y+7)^2=4 \) leży punkt
A.\(A=(-2,5) \)
B.\(B=(2,-5) \)
C.\(C=(2,-7) \)
D.\(D=(7,-2) \)
Zadanie 11.
Wskaż równanie okręgu o środku \(S = (1,- 2)\) i promieniu \(r = 2\)
A.\( (x-1)^2+(y+2)^2=2 \)
B.\( (x+1)^2+(y-2)^2=2 \)
C.\( (x-1)^2+(y+2)^2=4 \)
D.\( (x+1)^2+(y-2)^2=4 \)
Zadanie 12.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+3)^2+(y-1)^2=4 \) z osiami układu współrzędnych jest równa
A.\(0 \)
B.\(1 \)
C.\(2 \)
D.\(4 \)
Zadanie 13.
Środek \( S \) okręgu o równaniu \( x^2+y^2+4x-6y-221=0 \) ma współrzędne
A.\(S=(-2,3) \)
B.\(S=(2,-3) \)
C.\(S=(-4,6) \)
D.\(S=(4,-6) \)
Zadanie 14.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x-1)^2+y^2=4\) z prostą \(y=-1\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
Zadanie 15.
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=-x+2\) z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(2\)?
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
Zadanie 16.
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y = 3\) z okręgiem o środku w punkcie \(S(1, 2)\) i promieniu \(1\)?
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
Zadanie 17.
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=2x+1\) z okręgiem o środku w punkcie \(S=(2, -2)\) i promieniu \(1\)?
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
Zadanie 18.
Styczną do okręgu \((x - 1)^2 + y^2 - 4 = 0\) jest prosta równaniu
A.\( x=1 \)
B.\( x=3 \)
C.\( y=0 \)
D.\( y=4 \)
Zadanie 19.
Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(4, −2)\) i przechodzącego przez punkt \(O=(0, 0)\).
Zadanie 20.
Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi \(Oy\), którego środkiem jest punkt \(S=(3, -5)\).
Zadanie 21.
Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S = (3, -5)\) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.
Zadanie 22.
Prosta o równaniu \(3x - 4y - 36 = 0\) przecina okrąg o środku \(S = (3, 12)\) w punktach \(A\) i \(B\). Długość odcinka \(AB\) jest równa \(40\). Wyznacz równanie tego okręgu.
Zadanie 23.
Prosta o równaniu \(y = x + 2\) przecina okrąg o równaniu \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\) oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.
Zadanie 24.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(A = (2, 1)\) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie 25.
Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.
Zadanie 26.
Prosta \(y = x + 4\) przecina okrąg o równaniu \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\), a następnie oblicz obwód trójkąta \(ABS\), gdzie \(S\) jest środkiem danego okręgu.
Zadanie 27.
Długość okręgu opisanego równaniem \(x^2-4x+y^2-4=0\) jest równa:
A.\( 4\sqrt{2}\pi \)
B.\( 4\pi \)
C.\( 2\sqrt{2}\pi \)
D.\( 8\sqrt{2}\pi \)
Zadanie 28.
Środkiem okręgu o równaniu \( (x+2)^2+(y-3)^2=16 \) jest punkt:
A.\(S=(2,3) \)
B.\(S=(-2,3) \)
C.\(S=(2,-3) \)
D.\(S=(-2,-3) \)
Zadanie 29.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+2)^2+(y-3)^2=4\ \) z osiami układu współrzędnych jest równa
A.\(0 \)
B.\(1 \)
C.\(2 \)
D.\(4 \)
Zadanie 30.
Punkt \( P=(-1,0) \) leży na okręgu o promieniu \( 3 \). Równanie tego okręgu może mieć postać
A.\((x+1)^2+y^2=9 \)
B.\(x^2+\left ( y-\sqrt{2} \right )^2=3 \)
C.\((x+1)^2+(y+3)^2=9 \)
D.\((x+1)^2+y^2=3 \)
Zadanie 31.
Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie \(O=(3,1)\) i przechodzi przez punkty \(S=(0,4)\) i \(T=(0,-2)\). Okrąg ten jest opisany przez równanie 
A.\( (x+3)^2+(y+1)^2=18 \)
B.\( (x-3)^2+(y+1)^2=18 \)
C.\( (x-3)^2+(y-1)^2=18 \)
D.\( (x+3)^2+(y-1)^2=18 \)
Zadanie 32.
Okrąg opisany równaniem \((x−3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\) jest styczny do osi \(Oy\). Promień \(r\) tego okręgu jest równy
A.\( \sqrt{13} \)
B.\( \sqrt{5} \)
C.\( 3 \)
D.\( 2 \)