Przeksztacenie liniowe - jądro, baza, wymiar

Jądro przekształcenia \( f(x, y, z) = (-x + y + z, x - y + z) \) to zbiór wektorów \((x, y, z)\), dla których: \[ -x + y + z = 0 \] \[ x - y + z = 0 \] Dodajemy stronami: \[ (-x + y + z) + (x - y + z) = 0 + 0 \] \[ 2z = 0 \Rightarrow z = 0. \] Podstawiamy \( z = 0 \) do pierwszego równania: \[ -x + y = 0 \Rightarrow y = x. \] Zatem rozwiązania mają postać: \[ (x, y, z) = (x, x, 0) = x(1,1,0). \] Czyli baza jądra to: \( \{(1,1,0)\} \).
Wymiar jądra to: \( \dim \ker f = 1 \).
Baza \( B_1 \): \( \{ (1,0,0), (1,0,1), (1,2,0) \} \).
Obliczamy obrazy: \[ f(1,0,0) = (-1,1), \] \[ f(1,0,1) = (0,2), \] \[ f(1,2,0) = (1,-1). \] Każdy wektor zapisujemy w bazie \( B_2 = \{ (0,1), (1,0) \} \): \[ (-1,1) = -1(1,0) + 1(0,1), \] \[ (0,2) = 0(1,0) + 2(0,1), \] \[ (1,-1) = 1(1,0) -1(0,1). \] Macierz przekształcenia: \[ M_f(B_1, B_2) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}. \] Czyli podsumowując:

• Jądro (Ker f): \( \ker f = \text{span} \{(1,1,0)\} \).
• Baza: \( \{(1,1,0)\} \).
• Wymiar: \( \dim \ker f = 1 \).
• Macierz przekształcenia: \[ M_f(B_1, B_2) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}. \]

Dana jest macierz odwzorowania:

\[ M_f(B_1, B_2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}. \]

Współrzędne wektora \( (4,0,2) \) w bazie \( B_1 \) znajdujemy, rozwiązując układ:

\[ (4,0,2) = a(1,2,0) + b(1,1,1) + c(0,0,1) \]

Rozwiązując układ:

\[ a + b = 4, \]

\[ 2a + b = 0, \]

\[ b + c = 2. \]

Z pierwszych dwóch równań otrzymujemy \( a = -4, b = 8 \), podstawiając do trzeciego \( c = -6 \).

Obliczamy \( f(4,0,2) \):

\[ M_f(B_1, B_2) \begin{bmatrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot (-4) + 0\cdot (8) + 2\cdot (-6) \\ 2\cdot (-4) + 1\cdot (8) + 0\cdot (-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 - 12 \\ -8 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -16 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

Czyli \( f(4,0,2) =(-16, 0)\).