Geometria analityczna

Proste równoległe i prostopadłe

Niech będą dane dwie proste: \[y=a_1x+b_1\] oraz \[y=a_2x+b_2\]
Proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli: \[a_1=a_2\]
Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność: \[a_1\cdot a_2=-1\]
Prosta o równaniu \(y=\frac{2}{m}x+1\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x-1\). Stąd wynika, że
A.\( m=-3 \)
B.\( m=\frac{2}{3} \)
C.\( m=\frac{3}{2} \)
D.\( m=3 \)
D
Prosta \(l\) ma równanie \(y=-\frac{1}{4}x+7\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\).
A.\( y=\frac{1}{4}x+1 \)
B.\( y=-\frac{1}{4}x-7 \)
C.\( y=4x-1 \)
D.\( y=-4x+7 \)
C
Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:
A.\( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=-\frac{3}{4}x+5\)
B.\( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=-\frac{4}{3}x+5\)
C.\( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=\frac{3}{4}x-5\)
D.\( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=\frac{4}{3}x-5\)
D
Proste \(y=-3x+4\) i \(y=\left ( \frac{1}{3}a^2-\frac{4}{3} \right )x\) są prostopadłe, jeżeli
A.\( a=-2\ \) lub \(\ a=2\)
B.\( a=2 \)
C.\( a=\sqrt{5} \)
D.\( a=-\sqrt{5}\ \) lub \(\ a=\sqrt{5}\)
D
Prostą przechodzącą przez punkt \(A = (1,1)\) i równoległą do prostej \(y=0{,}5x-1\) opisuje równanie
A.\( y=-2x-1 \)
B.\( y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \)
C.\( y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \)
D.\( y=2x-1 \)
B
Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe i \(l{:}\ 2x-9y+6=0,\ k{:}\ y=ax+b\). Wówczas:
A.\( a=-\frac{2}{9} \)
B.\( a=\frac{2}{9} \)
C.\( a=-\frac{9}{2} \)
D.\( a=\frac{9}{2} \)
C
Prosta prostopadła do prostej \(l\) o równaniu \(4x-5y+6=0\) ma wzór:
A.\( y=-\frac{1}{5}x+b \)
B.\( y=-\frac{1}{4}x+b \)
C.\( y=-\frac{4}{5}x+b \)
D.\( y=-\frac{5}{4}x+b \)
D
Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(2x-4y=5\).
A.\( y=\frac{1}{2}x \)
B.\( y=-\frac{1}{2} \)
C.\( y=2x \)
D.\( y=-2x \)
D
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(y = -3x + 5\) jest równy
A.\( -\frac{1}{3} \)
B.\( -3 \)
C.\( \frac{1}{3} \)
D.\( 3 \)
B
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( 3x-6y+7=0 \)
A.\(y=\frac{1}{2}x \)
B.\(y=-\frac{1}{2}x \)
C.\(y=2x \)
D.\(y=-2x \)
A
Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których prosta o równaniu \(y = (m - 1)x + 5\) jest
  • rosnąca
  • równoległa do prostej \(y = -6x + 3\)

a) \(m\gt 1\)
b) \(m=-5\)
Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których prosta o równaniu \(y = (3 - 2m)x + 5\) jest
  • malejąca
  • prostopadła do prostej \(y = 2x-3\)

a) \(m\gt \frac{3}{2}\)
b) \(m=\frac{7}{4}\)
Proste o równaniach \(y=2x-5\) i \(y=(3-m)x+4\) są równoległe. Wynika stąd, że
A.\( m=1 \)
B.\( m=\frac{5}{2} \)
C.\( m=\frac{7}{2} \)
D.\( m=5 \)
A
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( y=2x-7 \).
A.\(y=-2x+7 \)
B.\(y=-\frac{1}{2}x+5 \)
C.\(y=\frac{1}{2}x+2 \)
D.\(y=2x-1 \)
D
Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu \( y=4x+5 \).
A.\(y=-4x+3 \)
B.\(y=-\frac{1}{4}x+3 \)
C.\(y=\frac{1}{4}x+3 \)
D.\(y=4x+3 \)
B
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(2x-y-11=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(1,2)\).
\(y=2x\)
Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+1\).
A.\( y=-2x+1 \)
B.\( y=0{,}5x-1 \)
C.\( y=-\frac{1}{2}x+1 \)
D.\( y=2x-1 \)
A
Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).
A.\( y=2x \)
B.\( y=-2x \)
C.\( y=-\frac{1}{2}x \)
D.\( y=\frac{1}{2}x \)
A
Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do \(l\).
A.\( y=2x \)
B.\( y=-2x \)
C.\( y=-\frac{1}{2}x \)
D.\( y=\frac{1}{2}x \)
C
Prosta \(l\) ma równanie \(2y-x=4\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).
A.\( y=2x \)
B.\( y=-2x \)
C.\( y=-\frac{1}{2}x \)
D.\( y=\frac{1}{2}x \)
D
Prostą równoległą do prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\) jest prosta opisana równaniem
A.\( y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3} \)
B.\( y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3} \)
C.\( y=\frac{3}{2}x-\frac{4}{3} \)
D.\( y=-\frac{3}{2}x-\frac{4}{3} \)
B
Proste o równaniach \(-3y - mx + 12 = 0\) oraz \(y = 6x - 12\) są prostopadłe dla \(m\) równego:
A.\( \frac{1}{2} \)
B.\( -18 \)
C.\( -\frac{1}{2} \)
D.\( 6 \)
A
Wykresy funkcji liniowych \( f(x)=\frac{\sqrt{5}}{3}x+6 \) oraz \( g(x)=\frac{5}{3\sqrt{5}}x-\frac{1}{6} \) :
A.są prostopadłe
B.przecinają się, ale nie są prostopadłe
C.pokrywają się
D.są równoległe, ale się nie pokrywają
D
Dane są równania czterech prostych: Prostopadłe są proste:
A.\(l\) i \( n \)
B.\(l\) i \( m \)
C.\(k\) i \( n \)
D.\(k\) i \( m \)
D
Równania \( y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4} \text{ oraz } y=-\frac{4}{3} \) opisują dwie proste
A.przecinające się pod kątem o mierze \( 90 ^\circ \).
B.pokrywające się.
C.przecinające się pod kątem różnym od \( 90 ^\circ \).
D.równoległe i różne.
C
Wskaż równanie prostej, która jest równoległa do prostej o równanie \(12x+4y+3=0\)
A.\( y=12x \)
B.\( y=-12x \)
C.\( y=3x \)
D.\( y=-3x \)
D
Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których proste \(y=(m^2+1)x-3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2m\) są prostopadłe.
\(m=\sqrt{2}\) lub \(m=-\sqrt{2}\)
Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A.\( m=2 \)
B.\( m=-2 \)
C.\( m=-2-2\sqrt{2} \)
D.\( m=2+2\sqrt{2} \)
A
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla
A.\( m=-\frac{1}{2} \)
B.\( m=\frac{1}{2} \)
C.\( m=1 \)
D.\( m=2 \)
A
Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.
\(y=4x+\frac{15}{2}\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie