Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)
Szkoła podstawowa
Definicja
Wspólna wielokrotność liczb naturalnych \(n\) i \(m\) - to każda liczba naturalna, która dzieli się bez reszty przez \(n\) oraz przez \(m\).Wyznacz wspólną wielokrotność liczb \(2\) i \(3\).
Szukamy liczby, którą można podzielić bez reszty przez \(2\) oraz przez \(3\).
Dobrą liczbą jest np. liczba \(6\), ale również \(12\), \(18\), \(60\), \(300\) i wiele innych.
Dobrą liczbą jest np. liczba \(6\), ale również \(12\), \(18\), \(60\), \(300\) i wiele innych.
Wyznacz wspólną wielokrotność liczb \(5\) i \(10\).
Szukamy liczby, którą można podzielić bez reszty przez \(5\) oraz przez \(10\).
Dobrymi liczbami są np.: \(10\), \(20\), \(30\), \(100\).
Dobrymi liczbami są np.: \(10\), \(20\), \(30\), \(100\).
Definicja
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb naturalnych \(n\) i \(m\) - to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby \(n\) i liczby \(m\).
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb \(n\) i \(m\) zapisujemy tak: \[\operatorname{NWW}(n, m)\] Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(2\) i \(3\) to: \[\operatorname{NWW}(2, 3)=6\]
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(5\) i \(10\) to: \[\operatorname{NWW}(5, 10)=10\]
Wyznacz NWW liczb \(6\) i \(8\).
W przypadku małych liczb, najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności podanych liczb. Dla dużych liczb znajdowanie NWW tą metodą byłoby bardzo czasochłonne. W takim przypadku należy skorzystać z poniższego algorytmu. Wielokrotności liczby \(6\), to: \[6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...\] Wielokrotności liczby \(8\), to: \[8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...\] Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(6\) i \(8\) jest liczba \(24\). Zapisujemy to w taki sposób: \[\operatorname{NWW}(6, 8) = 24\]
Algorytm wyznaczania NWW
- Rozkładamy obie liczby na iloczyn czynników pierwszych,
- Dla każdego czynnika pierwszego sprawdzamy w którym rozkładzie wystąpił większą liczbę razy i wypisujemy go taką liczbę razy
- Wymnażamy wszystkie wypisane liczby, otrzymując w rezultacie szukaną NWW.
Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb \(54\) i \(76\).
Rozkładamy obie liczby na iloczyn czynników pierwszych: \[ 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\\[6pt] 76 = 2 \cdot 2 \cdot 19 \] Teraz patrzymy ile razy wystąpiły poszczególne liczby pierwsze w każdym z rozkładów:
- Liczba \(2\) wystąpiła raz w I rozkładzie i dwa razy w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją dwa razy.
- Liczba \(3\) wystąpiła trzy w I rozkładzie i ani razu w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją trzy razy.
- Liczba \(19\) nie wystąpiła w I rozkładzie i wystąpiła raz w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją jeden raz.
Program do obliczania NWW
Liczba 1 =Liczba 2 =
Lekcja 1. NWD i NWW - metody obliczania i przykłady
W tym filmiku pokazuję metodę obliczania NWD i NWW na pięciu przykładach.
Zadanie 1.
Liczba \(x\) jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez \(3\) i \(4\), a liczba \(y\) jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(2\) i \(9\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(x\) i \(y\) jest równa
A.\( 72 \)
B.\( 108 \)
C.\( 180 \)
D.\( 216 \)