Mnożenie wielomianów
Poziom podstawowy
Żeby obliczyć iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu, przez każdy wyraz drugiego wielomianu. Wyznacz iloczyn wielomianów \(w(x)=2x+1\) oraz \(v(x)=x^2-3x+4\)
\[\begin{split} &w(x)\cdot v(x)=\\[6pt] &=(2x+1)\cdot (x^2-3x+4)=\\[6pt] &= 2x\cdot (x^2-3x+4)+1\cdot (x^2-3x+4)= \\[6pt] &= 2x^3-6x^2+8x+x^2-3x+4= \\[6pt] &= 2x^3-5x^2+5x+4 \end{split}\]
Iloczyn wielomianów stopnia \(m\) i stopnia \(n\) jest wielomianem stopnia \(m+n\).
Wyznacz iloczyn wielomianów \(w(x)=4x^7\) oraz \(v(x)=x^5-2x\)
\[\begin{split} w(x)\cdot v(x)&=4x^7\cdot (x^5-2x)= \\[6pt] &=4x^{12}-8x^8 \end{split}\]
Oblicz iloczyn wielomianów \(w(x)=x^3-2 x^2+5 x-1\) oraz \(v(x)=x^5-3\).
Każdy składnik wielomianu \(w(x)\) mnożony przez każdy składnik wielomianu \(v(x)\):
\[\begin{split} &(x^3-2 x^2+5 x-1)\cdot(x^5-3)=\\[6pt] &=x^3\cdot(x^5-3)-2 x^2\cdot(x^5-3)+5 x\cdot(x^5-3)-1\cdot(x^5-3)=\\[6pt] &=x^8-3 x^3-2 x^7+6 x^2 + 5 x^6-15 x-x^5+3=\\[6pt] &=x^8-2 x^7+5 x^6-x^5-3 x^3+6 x^2-15 x+3 \end{split}\]
Zadanie 1.
Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy
A.\(6 \)
B.\(5 \)
C.\(4 \)
D.\(3 \)
Zadanie 2.
Iloczyn wielomianów \(2x-3\) oraz \(-4x^2-6x-9\) jest równy
A.\( -8x^3+27 \)
B.\( -8x^3-27 \)
C.\( 8x^3+27 \)
D.\( 8x^3-27 \)
Zadanie 3.
Aby otrzymać wielomian \( W(x)=x^3+8\), należy pomnożyć wielomian \( P(x)=x+2 \) przez wielomian:
A.\(Q(x)=x^2+4 \)
B.\(Q(x)=x^2-2x+4 \)
C.\(Q(x)=x^2-4x+4 \)
D.\(Q(x)=x^2+2x+4 \)
Zadanie 4.
Dany jest wielomian \(W(x)=3 x^{3}+6 x^{2}+9 x\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3 x\) i \(G(x)=x^{2}+2 x+3\). | P | F |
| Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\). | P | F |
Zadanie 5.
Wielomian \(W(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3 x)^{2}\) oraz \(G(x)=3 x-2\).
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa ............ . Mnożenie wielomianów wielu zmiennych
Mnożenie wielomianów wielu zmiennych jest analogiczne do mnożenia wielomianów jednej zmiennej. Aby wyznaczyć iloczyn wielomianów wielu zmiennych należy każdy wyraz pierwszego wielomianu wymnożyć przez każdy wyraz drugiego wielomianu. Oblicz iloczyn \((x^2-3 y)\cdot (x^2-x y+2 y^2)\).
\[\begin{split} &(x^2-3 y)\cdot (x^2-x y+2 y^2)=\\[6pt] &=\ x^2 \cdot(x^2-x y+2 y^2)-3y \cdot(x^2-x y+2 y^2)=\\[6pt] &=\ x^4-x^3 y+2 x^2 y^2-3 x^2 y+3 x y^2-6 y^3 \end{split}\]