Metoda wyznaczników
Spoza programu
W tej metodzie oba równania muszą być zapisane w postaci \(ax+by=c\).
Jeżeli równania są zapisane inaczej, to musimy najpierw przekształcić je do takiej postaci.
Jeżeli równania są zapisane inaczej, to musimy najpierw przekształcić je do takiej postaci.
Rozwiązanie układu równań metodą wyznaczników polega na policzeniu trzech wyznaczników i zastosowaniu dwóch wzorów.
Wyznacznik macierzy \(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\) liczymy tak: \[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]
Wyznacznik macierzy \(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\) liczymy tak: \[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]
Prześledzimy cały algorytm na poniższym przykładzie.
Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników: \[\begin{split} \begin{cases} 7x+2y=1\\ 3x+4y=2 \end{cases} \end{split}\]
Oba równania są już zapisane w postaci \(ax+by=c\).
Możemy zatem przejść do liczenia trzech wyznaczników \(W\), \(W_x\) oraz \(W_y\).
Możemy zatem przejść do liczenia trzech wyznaczników \(W\), \(W_x\) oraz \(W_y\).
Dla ułatwienia zapiszemy nasz układ równań jeszcze raz, kolorując współczynniki liczbowe:
\[\begin{split} \begin{cases} \color{Red}{7}x+\color{Blue}{2}y=\color{Green}{1}\\ \color{Red}{3}x+\color{Blue}{4}y=\color{Green}{2} \end{cases} \end{split}\] Teraz nasze wyznaczniki budujemy z odpowiednich kolumn w taki sposób: \[ W=\begin{vmatrix} \color{Red}{7} & \color{Blue}{2}\\[6pt] \color{Red}{3} & \color{Blue}{4} \end{vmatrix} \qquad \qquad W_x=\begin{vmatrix} \color{Green}{1} & \color{Blue}{2}\\[6pt] \color{Green}{2} & \color{Blue}{4} \end{vmatrix} \qquad \qquad W_y=\begin{vmatrix} \color{Red}{7} & \color{Green}{1}\\[6pt] \color{Red}{3} & \color{Green}{2} \end{vmatrix} \] Obliczamy je, mnożąc liczby na krzyż i odejmując od siebie: \[\begin{split} &W=\begin{vmatrix} 7 & 2\\[6pt] 3 & 4 \end{vmatrix} =7\cdot 4-3\cdot 2=28-6=22\\[26pt] &W_x=\begin{vmatrix} 1 & 2\\[6pt] 2 & 4 \end{vmatrix} =1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0\\[26pt] &W_y=\begin{vmatrix} 7 & 1\\[6pt] 3 & 2 \end{vmatrix} =7\cdot 2-3\cdot 1=14-3=11 \end{split}\] Teraz obliczmy rozwiązania układu równań korzystając ze wzorów Cramera: \[\begin{split} &x=\frac{W_x}{W}=\frac{0}{22}=0\\[6pt] &y=\frac{W_y}{W}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2} \end{split}\] Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb: \[\begin{split} &x=0\\[6pt] &y=\frac{1}{2} \end{split}\]