Matura rozszerzona - zbiór zadań - zastosowania praktyczne funkcji wykładniczej i logarytmicznej

W chwili początkowej (\(t = 0\)) masa substancji jest równa \(4\) gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19\%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t \ge 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością \[ T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwill początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej ciecz.

Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury \(65^{\circ} \mathrm{C}\).

W chwili początkowej \((t=0)\) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa \(m\) związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością \[ m(t)=a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(m\) - masa związku A wyrażona w gramach,
\(t\) - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili \(t=0\) ),
\(a, b\) - współczynniki liczbowe.

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością \[ Q(t)=Q_{0} \cdot \beta^{-t} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(Q_{0}\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej \((t=0)\) wyrażony w milikulombach
\(Q\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili \(t\) (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach
\(\beta\) - stała dodatnia
\(t\) - czas wyrażony w sekundach.

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność \(N\) populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą \[ N(t)=N_{0} \cdot k^{t} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:

\(N_{0}\) - liczebność populacji w chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji,
\(k\) - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
\(t\) - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa \(10 000\), a po dwóch godzinach była równa \(15625\).

Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą: \[N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\] gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).

Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności. Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na

Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\text{C}\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}\text{C}\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.