Matura rozszerzona - zbiór zadań - wektory

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) czworokąt \(A B C D\) jest równoległobokiem takim, że \(\overrightarrow{B D}=[-21,-7]\) i \(\overrightarrow{D C}=[15,8]\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są okręgi \(\mathcal{O}_{1}\) oraz \(\mathcal{O}_{2}\) o równaniach:

• \(\mathcal{O}_{1}:(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\)
• \(\mathcal{O}_{2}:(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\).

Te okręgi przecinają się w punktach \(A\) oraz \(B\). Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt \(M\) spełnia warunek \(\overrightarrow{AM}=-2 \cdot \overrightarrow{BM}\).

W pięciokącie wypukłym \(A B C D E\) połączono środki boków \(A B\) i \(D C\) odcinkiem \(K L\) oraz środki boków \(B C\) i \(D E\) odcinkiem \(M N\) (zobacz rysunek). Punkty \(P\) i \(Q\) są środkami odcinków odpowiednio \(K L\) i \(M N\).