Matura rozszerzona - zbiór zadań - wartości i wykresy funkcji trygonometrycznych
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (1 pkt)
Dane są liczby: \(a=\sin \left(32\frac{1}{3}\cdot \pi \right)\), \(b=\cos \left(32\frac{1}{3}\cdot \pi \right)\), \(c=\operatorname{tg} \left(32\frac{1}{3}\cdot \pi \right)\). Wówczas
A.\( a\lt b \)
B.\( a=b \)
C.\( b\lt c \)
D.\( b=c \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba \(\cos^{2}105^\circ -\sin^{2} 105^\circ \) jest równa
A.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
B.\( -\frac{1}{2} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Różnica \(\cos^{2} 165^\circ -\sin^{2} 165^\circ \) jest równa
A.\( -1 \)
B.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
C.\( -\frac{1}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Jeżeli \(\cos \beta =-\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)\), to wartość wyrażenia \(\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)\) jest równa
A.\( \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \)
B.\( \frac{2\sqrt{6}+1}{6} \)
C.\( \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \)
D.\( \frac{1-2\sqrt{6}}{6} \)
Zadanie 5. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). 
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\). A.\( f(x)=\frac{\cos x+1}{|\cos x|+1} \)
B.\( f(x)=\frac{\sin x+1}{|\sin x|+1} \)
C.\( f(x)=\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2} \)
D.\( f(x)=\frac{|\sin x|-2}{\sin x-2} \)
Zadanie 6. (3 pkt)
Dana jest funkcja \(f(x)=\cos x\) oraz funkcja \(g(x)=f\left(\frac{1}{2}x\right)\). Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie \(f(x)=g(x)\). 
Zadanie 7. (5 pkt)
W trójkąt równoramienny \(ABC\) wpisano kwadrat w taki sposób, że bok \(DE\) kwadratu zawiera się w podstawie \(AB\) trójkąta, a wierzchołki \(F\) i \(G\) kwadratu leżą odpowiednio na ramionach \(BC\) i \(AC\) trójkąta (zobacz rysunek). 
Pole trójkąta \(CFG\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADG\) i \(BEF\). Oblicz sinus kąta ostrego, pod jakim przecinają się odcinki \(DF\) i \(BG\).
Pole trójkąta \(CFG\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADG\) i \(BEF\). Oblicz sinus kąta ostrego, pod jakim przecinają się odcinki \(DF\) i \(BG\).Zadanie 8. (4 pkt)
Okrąg o środku \(A\) i promieniu długości \(r\) jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku \(B\) i promieniu długości \(R\) (\(R> r\)). Prosta \(k\) jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą \(AB\) kąt ostry \(\alpha \). Wyznacz \(\sin \alpha \) w zależności od \(r\) i \(R\).