Matemaks

Matura rozszerzona - zbiór zadań - równania i nierówności trygonometryczne

Drukuj
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (3 pkt)
Rozwiąż równanie \[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1\]
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=\frac{7}{12}\pi + k\pi\) lub \(x=\frac{11}{12}\pi + k\pi\)
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\sin6x + \cos3x = 2\sin3x + 1\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x = 0, x = \frac{2}{3}\pi , x = \frac{7}{18}\pi, x = \frac{11}{18}\pi.\)
Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x=\frac{3}{2}\) w przedziale \(\langle 0; 2\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x\in \left\{0, \frac{\pi}{3}, 2\pi \right\}\)
Zadanie 4. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \((\cos x) \Biggl[ \sin \biggl(x - \frac{\pi}{3} \biggl) + \sin \biggl(x + \frac{\pi}{3} \biggl)\Biggl] = \frac{1}{2}\sin x\).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x \in \biggl\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\biggl\}\)
Zadanie 5. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\cos 3x+\sin 7x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi\rangle\).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x\in \left\{\frac{3}{8}\pi,\frac{7}{8}\pi,\frac{3}{20}\pi,\frac{7}{20}\pi,\frac{11}{20}\pi,\frac{15}{20}\pi,\frac{19}{20}\pi\right\}\)
Zadanie 6. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(3\cos 2x+10\cos^{2} x=24\sin x-3\) dla \(x\in \langle 0;2\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=\frac{\pi}{6}\) lub \(x=\frac{5}{6}\pi\)
Zadanie 7. (4 pkt)
Rozwiąż równanie: \[\sin \left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\cdot \cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\]
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi \lor x=\frac{\pi}{8}+k\pi\)
Zadanie 8. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\pi\)
Zadanie 9. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x+3\cos x=-2\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=\pi\) lub \(x=\frac{2}{3}\pi\) lub \(x=\frac{4}{3}\pi\)
Zadanie 10. (3 pkt)
Rozwiąż nierówność \(4\cos^{2} 2x-3\lt 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x\in \left( \frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{19\pi }{12},\frac{23\pi }{12}\right) \)
Zadanie 11. (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą dodatnią liczbę \(x\) spełniającą warunki: \(\sin x+\sin 3x=0\) oraz \(\cos \frac{1}{2}x\lt \frac{1}{2}\).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=\pi \)
Zadanie 12. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność \(\cos 2x\lt \cos x\).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x\in \left(-\frac{2}{3}\pi +2k\pi,\frac{2}{3}\pi +2k\pi \right) \land x\ne 2k\pi \)
Zadanie 13. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność \(\frac{2\cos x-\sqrt{3}}{\cos^{2} x}\lt 0\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x\in \left ( \frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{2}\right )\cup \left ( \frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}\right )\cup \left ( \frac{3\pi }{2}; \frac{11\pi }{6}\right )\)
Zadanie 14. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \[\sin(5x)+\cos x=0\] w zbiorze \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Zapisz obliczenia.
Film
Odp
Zalicz
Link
\(-\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\)
Zadanie 15. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \((\cos x+a)\cdot (\sin^{2} x-a)=0\) ma w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \) dokładnie trzy różne rozwiązania.
Film
Odp
Zalicz
Link
\(a=1\)
Zadanie 16. (5 pkt)
Rozwiąż równanie \[\cos^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin^2x=0\] w przedziale \([-\pi,\pi]\). Zapisz obliczenia.
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=-\frac{5}{6}\pi\ \lor x=\frac{\pi}{6}\ \lor x=-\frac{\pi}{3}\ \lor x=\frac{2}{3}\pi\)
Zadanie 17. (5 pkt)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle \).
Film
Odp
Zalicz
Link
\(x=\frac{\pi}{4}\) lub \(x=\frac{7}{12}\pi\)