Matura rozszerzona - zbiór zadań - przekroje wielościanów

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(C G\) tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej). \[ |P G|=|P C| \]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(A B C D E\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(A B C D\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1: 5\). Przez przekątną \(A C\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(B E\) poprowadzono płaszczyznę. Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a\). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\), w którym każda krawędź ma tę samą długość równą \(a\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź \(AB\) podstawy tego graniastosłupa jest trapezem, to płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy \(ABC\) graniastosłupa pod takim kątem \(\alpha \), że \(\operatorname{tg} \alpha \gt \frac{2}{3}\sqrt{3}\).

Punkt \(S\) jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a punkty \(E\), \(F\) są odpowiednio środkami krawędzi \(AB\) i \(CD\) jego podstawy. Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość równą \(1\). Płaszczyzna przechodząca przez punkty \(E\) i \(F\) przecina krawędzie boczne odpowiednio w punktach \(G\) oraz \(H\) (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że jest ono dwa razy większe od pola czworokąta \(BCGH\).