Zbiór zadań - ciąg arytmetyczny i geometryczny
Poziom podstawowy
Zadanie 1. (1 pkt)
Trójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla
A.\( x=-3 \)
B.\( x=-1 \)
C.\( x=0 \)
D.\( x=2 \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.\( -4 \)
B.\( 1 \)
C.\( 0 \)
D.\( -1 \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że
A.\( x=18 \)
B.\( x=6 \)
C.\( x=\frac{85}{6} \)
D.\( x=\frac{6}{85} \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny \((x,2x^2,4x^3,8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
A.\( x=0 \)
B.\( x=1 \)
C.\( x=2 \)
D.\( x=4 \)
Zadanie 5. (2 pkt)
Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).
Zadanie 6. (2 pkt)
Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
Zadanie 7. (2 pkt)
Liczby \(2x, 16, x\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
Zadanie 8. (2 pkt)
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Zadanie 9. (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzorem ogólnym \(b_n=2a_{n+2}+4a_{n+4}\) jest arytmetyczny.
Zadanie 10. (2 pkt)
Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów.