Matura 2025 - rozwiązania zadań

Drukuj
Poziom podstawowy
Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\bigl(\sqrt{32}-\sqrt{2}\bigr)^{2}\) jest równa
A.\(16\)
B.\(18\)
C.\(30\)
D.\(34\)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa
A.\(30\)
B.\(31\)
C.\(512\)
D.\(527\)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_{3}108-2\log_{3}2\) jest równa
A.\(3\)
B.\(9\)
C.\(\log_{3}104\)
D.\(2\log_{3}54\)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(\bigl(3x+2\bigr)^{2}-\bigl(2x-3\bigr)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia
A.\(5x^{2}-5\)
B.\(5x^{2}+13\)
C.\(5x^{2}+24x-5\)
D.\(5x^{2}+24x-13\)
C
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Dana jest nierówność \[ 3-2(1-2 x) \geq 2 x-17 \]
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(2x(x+3)\left(x^{2}+25\right)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A. dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(0\)
B. dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\)
C. trzy rozwiązania: \((-5),(-3)\) oraz \(0\)
D. cztery rozwiązania: \((-5),(-3), 0\) oraz \(5\)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia
A.\(\frac{x+2}{4x+4}\)
B.\(\frac{x+1}{4x+5}\)
C.\(\frac{x+1}{x+2}\)
D.\(\frac{2x}{x+2}\)
C
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1200000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146700\) złotych - zespół A wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
\(735000\)
Rozwiąż nierówność \[ 3\left(2 x^{2}+1\right)\lt 11 x \] Zapisz obliczenia.
\(x\in \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)\)
Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\ 3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\ -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
  • Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział …………………… .
  • Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział …………………… .
  • Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… .
  • Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział …………………… .
  • \([−4,4)\)
  • \((−3,3]\)
  • \([−4,3)\)
  • \([−2,2]\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
\(f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A.\(x = 3\)
B.\(x = -3\)
C.\(y = 6\)
D.\(y = -6\)
A
Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\).
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa …………… .
\(6\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)\,x-4\). Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego
A.\((-3)\)
B.\(0\)
C.\(3\)
D.\(4\)
C
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=2 a_{n}+1 \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy
A.\(4\)
B.\(5\)
C.\(7\)
D.\(11\)
D
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny. P F
Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny. P F
FF
Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg \[ \left(2 m+11, m^{2}+3,5-m\right) \] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
\(m=\frac{5}{2}\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_{1}=27\) oraz \(a_{2}=9\). Czwarty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy
A.\(\frac{1}{3}\)
B.\(1\)
C.\(3\)
D.\(729\)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\,\mathrm{tg}\,\alpha = 2\sin\alpha\). Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
C.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D.\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
C
Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\), w którym bok \(B C\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(A B\) ma długość \(6\), a środkowa \(C D\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(A D C\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(A B C\) przez \(\beta\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
A.\(\dfrac{2}{3}\)
B.\(\dfrac{3}{4}\)
C.\(\dfrac{4}{5}\)
D.\(\dfrac{4}{3}\)
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta \(\beta\) jest równy
A.\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
B.\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
C.\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)
D.\(\frac{4}{5}\)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \( \sphericalangle BCA \) jest równa \(50^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \( \sphericalangle ABO \) jest równa
A.\(20^{\circ}\)
B.\(35^{\circ}\)
C.\(40^{\circ}\)
D.\(50^{\circ}\)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC| = |BC| = 4\) oraz \(|AB| = 3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Odcinek \(BD\) ma długość
A.\(2\)
B.\(2{,}25\)
C.\(2{,}5\)
D.\(3\)
B
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11,|BC|=12\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. P F
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\). P F
FP
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\). Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość
A.\(5\)
B.\(7\)
C.\(10\)
D.\(14\)
C
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} k:&\; y=(m-2)\,x+5\\ l:&\; y=-4\,x+(m+3) \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa
A.\((-4)\)
B.\((-2)\)
C.\(2\)
D.\(5\)
B
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(2,4)\). Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem
A.\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=2\sqrt{5}\)
B.\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\)
C.\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=2\sqrt{5}\)
D.\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=20\)
B
Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^{\circ}\).
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
\(V=64\pi\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość sześcianu jest równa \(729\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A.\(9\sqrt{3}\)
B.\(9\sqrt{2}\)
C.\(3\sqrt{3}\)
D.\(3\sqrt{2}\)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest
A.\(45\)
B.\(50\)
C.\(54\)
D.\(81\)
A
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od 1 do 6. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe
A.\(\dfrac{1}{36}\)
B.\(\dfrac{6}{36}\)
C.\(\dfrac{11}{36}\)
D.\(\dfrac{2}{36}\)
D
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,x,\,y\) jest równa \(3\). Suma \(x+y\) jest równa
A.\(4\)
B.\(5\)
C.\(6\)
D.\(7\)
C
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
  • Mediana ocen uzyskanych \(z\) tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ......... .
  • Dominanta ocen uzyskanych \(z\) tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ......... .
  • \(4{,}5\)
  • \(6\)
Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(A B C D E F G H\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
\(x=\frac{11}{2}\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie