Matura 2025 - rozwiązania zadań

Liczba \(\bigl(\sqrt{32}-\sqrt{2}\bigr)^{2}\) jest równa

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

Liczba \(\log_{3}108-2\log_{3}2\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(\bigl(3x+2\bigr)^{2}-\bigl(2x-3\bigr)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

Dana jest nierówność \[ 3-2(1-2 x) \geq 2 x-17 \]

Równanie \(2x(x+3)\left(x^{2}+25\right)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1200000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146700\) złotych - zespół A wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.

Rozwiąż nierówność \[ 3\left(2 x^{2}+1\right)\lt 11 x \] Zapisz obliczenia.

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\ 3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\ -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział …………………… .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział …………………… .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… .
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział …………………… .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\). Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa …………… .

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)\,x-4\). Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=2 a_{n}+1 \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.	P	F

Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg \[ \left(2 m+11, m^{2}+3,5-m\right) \] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_{1}=27\) oraz \(a_{2}=9\). Czwarty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\,\mathrm{tg}\,\alpha = 2\sin\alpha\). Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\), w którym bok \(B C\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(A B\) ma długość \(6\), a środkowa \(C D\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(A D C\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(A B C\) przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \( \sphericalangle BCA \) jest równa \(50^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \( \sphericalangle ABO \) jest równa

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC| = |BC| = 4\) oraz \(|AB| = 3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Odcinek \(BD\) ma długość

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11,|BC|=12\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}\) (zobacz rysunek).

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\). Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} k:&\; y=(m-2)\,x+5\\ l:&\; y=-4\,x+(m+3) \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(2,4)\). Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^{\circ}\).

Objętość sześcianu jest równa \(729\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od 1 do 6. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,x,\,y\) jest równa \(3\). Suma \(x+y\) jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

• Mediana ocen uzyskanych \(z\) tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ......... .
• Dominanta ocen uzyskanych \(z\) tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ......... .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(A B C D E F G H\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).