Matura 2024 grudzień

Liczby \(x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x+4|=7\). Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa

Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa

Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \(\log _{7} x+6 \log _{7} y\) jest równa wartości wyrażenia

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę \(60000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(p \%\) w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa \(67925,76\) zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-1)\), \(0\) oraz \(1\) wartość wyrażenia \(\frac{x}{x^{2}-1}: \frac{3 x^{2}}{x+1}\) jest równa wartości wyrażenia

Para liczb \(x=-1\) i \(y=6\) jest rozwiązaniem układu równań \[ \left\{\begin{array}{l} a x+3 y=20 \\ x+b y=5 \end{array}\right. \] gdzie \(a\) oraz \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia \(a \cdot b\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}3 & \text { dla } x \in(-4,-2] \\ -x+1 & \text { dla } x \in(-2,2] \\ x-3 & \text { dla } x \in(2,4]\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział .............. .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział .............. .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .............. .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, jest przedział .............. .

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(O y\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) ma współrzędne \((0,4)\) (zobacz rysunek).

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji \(f\), jest równy \((-2)\).	P	F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) oraz wykresem funkcji \(f\) jest równe \(8\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3,0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,-9)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale

Wzór funkcji \(f\) zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: .......... oraz .......... .

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x)-1\).

Funkcja \(g\) ma jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu \(x=3\).	P	F

Funkcja logarytmiczna \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\log _{6} x\) dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\).

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(36\) jest równa \(6\).	P	F
Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=3 \cdot(-1)^{n}+10\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest geometryczny.	P	F
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równa \(80\).	P	F

Trzywyrazowy ciąg ( \(5 m, 4+2 m, m\) ) jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{2}=\frac{1}{6}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Piąty wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\), w którym \(|A C|=\sqrt{15}\) i \(|B C|=8\). Na przyprostokątnej \(A B\) leży taki punkt \(D\), że \(|B D|=6\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta ostrego \(A B C\) jest równy

Tangens kąta ostrego \(ADC\) jest równy

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7{,}5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(6\). Miara kąta wpisanego \(A C B\) jest równa \(60^{\circ}\) (zobacz rysunek). Długość łuku \(AB\), na którym oparty jest kąt wpisany \(ACB\), jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(-2,-1)\) oraz \(C=(3,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Długość boku kwadratu \(ABCD\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-7 x+3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(O y\) w punkcie \((0,6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\). Liczba \(p\) jest równa

 W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}\), o równaniach: \[ \begin{aligned} & o_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 \\[6pt] & o_{2}:(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \\[6pt] & o_{3}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \\[6pt] & o_{4}:(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=16 \end{aligned} \] Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\alpha\), że \(\operatorname{tg} \alpha=3\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(p\). Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\).

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry \(0,1,2,3\) (np. \(12303\), \(11111\)), jest

Dane są dwa zbiory: \(C=\{1,2,3,4,5,6\}\) oraz \(D=\{7,8,9,10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

Do szkolnego koła czytelniczego należy \(50\) uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

• Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ............ .
• Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ............ .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(A B\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).