Matura 2025 czerwiec

Liczby \(\,x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(\lvert x-6\rvert = 4\). Iloczyn \(x_{1}\cdot x_{2}\) jest równy

Liczba \(256\cdot \sqrt[3]{8^2}\) jest równa

Iloczyn \(2\cdot\log_{3}5\) jest równy \(\log_{3}25\).	P	F
Suma \(2+\log_{3}5\) jest równa \(\log_{3}10\).	P	F

Liczba \(\bigl(\sqrt{3}+1\bigr)^{2}-\sqrt{12}\) jest równa

Dana jest nierówność \[ 8-\frac{1-2x}{2}\ge 3x. \] Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Równanie \(4\bigl(x-1\bigr)^{2}\bigl(x^{2}-25\bigr)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

W maju \(2024\) roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie \(1410\) drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} -x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2],\\ 0 & \text{dla } x\in(-2,1],\\ x & \text{dla } x\in(1,3]. \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ……………… .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ……………… .
• Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\) jest przedział ……………… .
• Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt f(-3)\) jest przedział ……………… .

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12 x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\). Liczba \(k\) należy do przedziału

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5 x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych ( \(x, y\) ) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(O x\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=3 n^{2}-3 n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Suma \(S_{3}\) trzech początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_{n})\) są liczbami parzystymi.	P	F

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Różnica ciągu \((a_{n})\) jest równa

Suma \(S_{25}\) dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((4,\,m,\,m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Liczba \(\dfrac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac37\).	P	F
Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac47\).	P	F

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10,\,24,\,26\) (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku \(S\). Miara kąta wpisanego \(AGD \) jest równa

Kwadrat \(\mathcal{K}_{2}\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\). Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) jest równa

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\!: y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).
Punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[ \mathcal{O}:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9 \] Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(O y\) układu współrzędnych. Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\).
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(20\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^{\circ}\). Wysokość tego stożka jest równa

Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb ( \(x, y\) ), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a, b, c\), jest równa 12 . Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2 a, 3 a, 2 b, 3 b, 2 c, 3 c\), jest równa

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

• Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie …………… uczniów tej klasy.
• Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .
• Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem \[ Z(x)=(500+50 x)(16-x) \] gdzie:
\(x\) - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x \geq 1\) i \(x \leq 14\),
\(Z\) - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego