Arkusz pokazowy - formuła 2023

Wartość wyrażenia \(6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}\) jest równa

Wartość wyrażenia \(\log_798-\log_72\) jest równa

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra \(2\), jest

Dla każdej liczby rzeczywistej a wartość wyrażenia \((3 + 4a)^2 - (3 - 4a)^2\) jest równa

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek). Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Dany jest wielomian \[W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12\] gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba \((−2)\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba \(k\) jest równa

Równanie \[\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1{,}5)(x+6)}=0\] ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność: \[|x+1|\le 2\]

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dana jest funkcja liniowa \(f\) określona wzorem\(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji \(f\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. Współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Ponadto przy cenie równej \(5\) jednostek liczba kupujących jest równa \(12\) jednostek. Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki.
Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą \[m(t)=m_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\] Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_0=100\) mg leku \(L\). Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy \(T = 4\) doby.

Klient wpłacił do banku \(20\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(3\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po \(2\) latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczby \(2,\ (−1),\ (−4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_n)\)	P	F
\((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).	P	F

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 6\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 10\). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((−0{,}65)\).	P	F
Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny.	P	F

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg o środku \(S = (2, −5)\) i promieniu \(r = 3\). Równanie tego okręgu ma postać

Odcinki \(AD\) i \(BC\) przecinają się w punkcie \(O\). W trójkątach \(ABO\) i \(ODC\) zachodzą związki: \(|AO| = 5\), \(|BO| = 3\), \(|OC| = 10\), \(|\sphericalangle OAB| = |\sphericalangle OCD|\) (zobacz rysunek). Oblicz długość boku \(OD\) trójkąta \(ODC\).
Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = −3x + 1\). 1. Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu

E.\( y = \frac{1}{3}x + 2 \)

F.\( y = -\frac{1}{3}x + 2 \)

G.\( y = 3x + 1 \)

H.\( y = -3x + 1 \)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A = (-2, 1)\) i \(C = (4, 5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu. Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r = 8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\). Miara kąta \(BAC\) jest równa

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(4\operatorname{tg} \alpha =3\sin^{2} \alpha +3\cos^{2} \alpha \). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dane są dwa trójkąty podobne \(ABC\) i \(KLM\) o polach równych - odpowiednio - \(P\) oraz \(2P\). Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\). Obwód trójkąta \(KLM\) jest równy

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(A\) i \(B\). Te proste przecinają się w punkcie \(S\) i tworzą kąt o mierze \(76^\circ\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(OBA\) jest równa

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt \(ABCD\), w którym bok \(BC\) odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna \(AC\) tego prostokąta ma długość \(16\) i tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\) o podstawie \(ABC\). Punkty \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami - odpowiednio - krawędzi bocznych \(AS\), \(BS\) i \(CS\) (zobacz rysunek). Stosunek objętości ostrosłupa \(DEFS\) do objętości ostrosłupa \(ABCS\) jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) (zobacz rysunek). Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy ścianą boczną \(ACFD\) i przekątną \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1000\) do \(9999\). Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej \(3\), jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\).

W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.