Matura rozszerzona 2018 - listopad - próbna Operon
Poziom rozszerzony
Na tej stronie znajdują się rozwiązania zadań z matury próbnej rozszerzonej Wydawnictwa Operon. Arkusz dostępny jest na stronie wydawnictwa: https://www.operon.pl/Oferta/Egzaminy/Matura-z-Operonem/Baza-arkuszy.Zadanie 1. (1 pkt)
Jeżeli \((a_n)\) jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym \(a_1=16\) i \(a_3=1\), to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:
A.\( 21\frac{1}{3} \)
B.\( 12{,}8 \)
C.\( 0{,}8 \)
D.\( 5\frac{1}{3} \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Dziedziną funkcji \(f(x)=\log_{x+1}(4-x^2)\) jest
A.\( (-2,0)\cup (0,2) \)
B.\( (-2,-1)\cup (-1,2) \)
C.\( (-1,0)\cup (0,2) \)
D.\( (-1,2) \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Równanie \(\left|3-\frac{1}{x}\right|=m\) dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:
A.\( m\in (0,3)\cup (3,+\infty ) \)
B.\( m\in (0,3) \)
C.\( m\in (3,+\infty ) \)
D.\( m\in (0,+\infty ) \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Funkcja \(f(x)=\frac{x+3}{(x-2)^2}\):
A.nie ma ekstremów lokalnych
B.ma dwa ekstrema lokalne w punktach \( x_1=-8 \) i \(x_2=2\)
C.ma dwa ekstrema lokalne w punktach \( x_1=-2 \) i \(x_2=8\)
D.ma jedno ekstremum lokalne w punkcie \( x_1=-8 \)
Zadanie 5. (1 pkt)
Czworokąt \(ABCD\) przedstawiony na rysunku jest wpisany w okrąg. Miara kąta \(\alpha \) jest równa: 
A.\( 85^\circ \)
B.\( 90^\circ \)
C.\( 75^\circ \)
D.\( 55^\circ \)
Zadanie 6. (2 pkt)
Oblicz granicę \(\lim_{x \to -2}\left(\frac{x-3}{x+2}-\frac{x^3-52}{x^3+8}\right) \). Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 7. (3 pkt)
Rozwiąż nierówność \(3x-|2x-7|\lt 11\).
Zadanie 8. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x=\frac{3}{2}\) w przedziale \(\langle 0; 2\pi \rangle \).
Zadanie 9. (3 pkt)
Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu \(5\). Kąt ostry trapezu ma miarę \(45^\circ\). Oblicz długości odcinków, na które punkt styczności okręgu podzielił ramię pochyłe trapezu.
Zadanie 10. (3 pkt)
W trójkącie \(ABC\): \(|AB|=c\), \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) oraz \(|\sphericalangle BAC|=\alpha \) i \(|\sphericalangle ABC|=\beta \) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(\alpha =2\beta \), to \(a^2-b^2=bc\). 
Zadanie 11. (4 pkt)
Wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2+bx+c\) jest podzielny przez trójmian \(x^2+x-6\), a przy dzieleniu przez dwumian \(x+1\) daje resztę \(6\). Wyznacz wartości współczynników \(a\), \(b\) i \(c\).
Zadanie 12. (3 pkt)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych od \(30\) losujemy kolejno \(2\) razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy w ten sposób parę liczb, których iloczyn jest mniejszy od \(30\) pod warunkiem, że pierwsza wylosowana liczba jest mniejsza od drugiej wylosowanej liczby.
Zadanie 13. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których dwa różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) równania \((m+1)x^2+2\sqrt{2}x-m^2+2=0\) spełniają warunek \({x_1}^2+{x_2}^2\ge m-x_1x_2\).
Zadanie 14. (5 pkt)
Liczbę \(272\) przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o \(48\) większy od pierwszego.
Zadanie 15. (5 pkt)
Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu \(y=\frac{1}{4}x^2-1\) i do okręgu o równaniu \(x^2+(y+6)^2=8\).
Zadanie 16. (7 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi \(S\). Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości jednej z jego krawędzi i podaj dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.