Matura podstawowa 2017 - listopad - próbna Operon
Poziom podstawowy
Na tej znajdują się rozwiązania zadań matury próbnej organizowanej przez Wydawnictwo Operon 22 listopada 2017.Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba \(\log_2\frac{1}{\sqrt{8}}\) jest równa:
A.\( -\frac{3}{2} \)
B.\( \frac{3}{2} \)
C.\( \frac{1}{3} \)
D.\( -\frac{1}{3} \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) należy do przedziału:
A.\( (-\infty ,-13) \)
B.\( \langle -13,-12) \)
C.\( (12,13\rangle \)
D.\( (13,+\infty ) \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(x\) przez \(9\) jest równa \(7\). Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(9\) jest równa:
A.\( 2 \)
B.\( 4 \)
C.\( 6 \)
D.\( 8 \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Prosta \(l\) przechodzi przez punkty \(A=(6,-7), B=(-10,3)\). Prosta \(k\) jest symetralną odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:
A.\( -\frac{8}{5} \)
B.\( \frac{8}{5} \)
C.\( \frac{5}{8} \)
D.\( -\frac{5}{8} \)
Zadanie 5. (1 pkt)
Dany jest ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_3,a_5\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_3,x,a_5)\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:
A.\( x=\frac{61}{48} \)
B.\( x=\frac{61}{96} \)
C.\( x=\frac{69}{96} \)
D.\( x=\frac{69}{48} \)
Zadanie 6. (1 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem \(y=x^2-4\sqrt{3}x+12\). Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:
A.\( 8\sqrt{3} \)
B.\( 24 \)
C.\( 24\sqrt{3} \)
D.\( 12 \)
Zadanie 7. (1 pkt)
Do wykresu funkcji wykładniczej \(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x\) należy punkt
A.\( A=\left(-\frac{1}{2},-2\right) \)
B.\( A=\left(-\frac{1}{2},2\right) \)
C.\( A=\left(2,\frac{1}{2}\right) \)
D.\( A=\left(2,-\frac{1}{2}\right) \)
Zadanie 8. (1 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\( 1000a_1 \)
B.\( 1001a_1 \)
C.\( 10 \)
D.\( 0 \)
Zadanie 9. (1 pkt)
Punkty \(A,B,C,D\) należą do okręgu o środku \(O\). Jeśli kąt \(ABC\) ma miarę \(70^\circ \), to kąt \(DAC\) ma miarę: 
A.\( 70^\circ \)
B.\( 50^\circ \)
C.\( 40^\circ \)
D.\( 20^\circ \)
Zadanie 10. (1 pkt)
Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(16\), a jego pole \(12\). Pole trójkąta \(DEF\) jest równe \(60\). Zatem obwód trójkąta \(DEF\) jest równy:
A.\( 80 \)
B.\( 16\sqrt{5} \)
C.\( \frac{16\sqrt{5}}{5} \)
D.\( \frac{16}{5} \)
Zadanie 11. (1 pkt)
Wykres funkcji \(f(x)=(4m-2)x+k-3\) przechodzi tylko przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych. Oznacza to, że:
A.\( \begin{cases} m\gt \frac{1}{2} \\ k=-3 \end{cases} \)
B.\( \begin{cases} m\lt \frac{1}{2} \\ k=-3 \end{cases} \)
C.\( \begin{cases} m\lt \frac{1}{2} \\ k=3 \end{cases} \)
D.\( \begin{cases} m\gt \frac{1}{2} \\ k=3 \end{cases} \)
Zadanie 12. (1 pkt)
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową względem osi \(OX\) wykresu funkcji \(f(x)=x^2-4\), to:
A.\( f(x)=(x+4)^2 \)
B.\( f(x)=-x^2-4\ \)
C.\( f(x)=-x^2+4\ \)
D.\( f(x)=(x-4)^2 \)
Zadanie 13. (1 pkt)
Wyrażenie wymierne \(W=\frac{x-3}{x^2-4x+4}\) jest określone dla
A.\( x\in \mathbb{R} \)
B.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{3\} \)
C.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{2\} \)
D.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{-2,2\} \)
Zadanie 14. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne różnią się o \(4\), a jeden z kątów ma miarę \(30^\circ \). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:
A.\( \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
B.\( \frac{2\sqrt{3}}{6} \)
C.\( 2\sqrt{3}-2 \)
D.\( 2\sqrt{3}+2 \)
Zadanie 15. (1 pkt)
Rozwiązaniem nierówności \((3x+9)^2\gt 0\) jest:
A.zbiór \( \mathbb{R} \)
B.zbiór pusty
C.zbiór \( \mathbb{R}\backslash \{-3\} \)
D.zbiór \( \mathbb{R}\backslash \{-9\} \)
Zadanie 16. (1 pkt)
Jeśli \(A=(-\infty,0)\) i \(B=\langle 0,5 \rangle \) to różnica przedziałów \(B\) i \(A\) jest równa: \[B\backslash A=?\]
A.\( (-\infty,0) \)
B.\( (-\infty,0\rangle \)
C.\( (0,5\rangle \)
D.\( \langle 0,5\rangle \)
Zadanie 17. (1 pkt)
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(4\) i \(6\) . Pole tego trójkąta jest równe \(3\sqrt{15}\). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach \(4\) i \(6\) ma miarę \(\alpha \gt 90^\circ \), to:
A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4} \)
B.\( \cos \alpha =\frac{1}{4} \)
C.\( \cos \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4} \)
D.\( \cos \alpha =-\frac{1}{4} \)
Zadanie 18. (1 pkt)
Rzucono cztery razy monetą. Prawdopodobieństwo tego, że wypadnie co najwyżej \(1\) orzeł, jest równe:
A.\( \frac{2}{8} \)
B.\( \frac{5}{16} \)
C.\( \frac{4}{8} \)
D.\( \frac{4}{16} \)
Zadanie 19. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości \(12\). Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:
A.\( 6\pi (1+\sqrt{2}) \)
B.\( 36\pi (1+\sqrt{2}) \)
C.\( 24\pi \)
D.\( 36\pi \)
Zadanie 20. (1 pkt)
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_n=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy: \[a_5=?\]
A.\( 45 \)
B.\( 31 \)
C.\( 21 \)
D.\( 11 \)
Zadanie 21. (1 pkt)
Funkcja \(f(x)=(m+3)x^2+16x+5\) osiąga wartość największą dla \(x=2\). Oznacza to, że największa wartość tej funkcji jest równa:
A.\( -7 \)
B.\( -14 \)
C.\( 14 \)
D.\( 21 \)
Zadanie 22. (1 pkt)
Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) dolnej podstawy i wierzchołek \(C'\) górnej podstawy. Jeśli \(a\) jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe:
A.\( \frac{1}{2}a^2\sqrt{2} \)
B.\( \frac{1}{2}a^2\sqrt{3} \)
C.\( \frac{1}{2}a^2\sqrt{5} \)
D.\( \frac{1}{2}a^2\sqrt{6} \)
Zadanie 23. (1 pkt)
Jeśli \(x+\frac{1}{x}=6\), to:
A.\( x^2+\frac{1}{x^2}=2\sqrt{6} \)
B.\( x^2+\frac{1}{x^2}=\sqrt{6} \)
C.\( x^2+\frac{1}{x^2}=36 \)
D.\( x^2+\frac{1}{x^2}=34 \)
Zadanie 24. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność \((4x-1)^2\lt (2-5x)^2\).
Zadanie 25. (2 pkt)
Narysuj wykres funkcji \(f(x)=2^x-3\). Podaj zbiór wartości tej funkcji.
Zadanie 26. (2 pkt)
Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt 1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge 4a\).
Zadanie 27. (2 pkt)
Wyznacz współczynniki \(b,c\) we wzorze funkcji \(f(x)=x^2+bx+c\), jeśli wiesz, że miejsca zerowe tej funkcji są równe \((-4)\) i \(2\). \[x_1 = -4\ x_2=2\ b=?\ c=?\]
Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Zadanie 29. (2 pkt)
Rzucono trzy razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej \(16\).
Zadanie 30. (4 pkt)
Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.
Zadanie 31. (5 pkt)
Dane są punkty \(A=(4,2)\) i \(B=(1,-3)\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\) należącego do osi \(OY\), tak aby \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \).
Zadanie 32. (6 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie \(ABC\) i górnej \(A'B'C'\). Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt \(60^\circ \). Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe \(2\sqrt{3}\). Oblicz pole trójkąta \(ABC'\).