Matura rozszerzona 2015 - maj

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|2x-8|\le 10\). Wynika stąd, że

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x-2\quad \text{dla } x\le 0 \\ \Bigl ||x+3|-4 \Bigl |\quad \text{dla } x\gt 0 \end{cases} \). Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie

Liczba \((3-2\sqrt{3})^3\) jest równa

Równanie \(2\sin x+3\cos x=6\) w przedziale \((0,2\pi )\)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y=2x+4\) jest równa

Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left ( \frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4} \right )\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Liczby \((-1)\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\). Oblicz \(\frac{f(6)}{f(12)}\).

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \[x^4-x^2-2x+3\gt 0\]

Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.

Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.

W pierwszej urnie umieszczono \(3\) kule białe i \(5\) kul czarnych, a w drugiej urnie \(7\) kul białych i \(2\) kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\), spełniające warunek \({x_1}^2-{x_2}^2={x_1}^4-{x_2}^4\).

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Krawędź boczna \(SD\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\) tego ostrosłupa.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa \(0\). Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynnik \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie \(20\). Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.