Matura podstawowa 2014 - sierpień
Poziom podstawowy
Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. 
A.\(|x-7|\lt 15 \)
B.\(|x-7|>15 \)
C.\(|x-15|\lt 7 \)
D.\(|x-15|>7 \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa
A.\(2^{2013} \)
B.\(2^{2012} \)
C.\(2^{1007} \)
D.\(1^{2014} \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy
A.\(c^3=2 \)
B.\(3^c=2 \)
C.\(3^2=c \)
D.\(c^2=3 \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba \( {\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )}^2+2\sqrt{15} \) jest równa
A.\(2+2\sqrt{15} \)
B.\(8 \)
C.\(2+4\sqrt{15} \)
D.\(2 \)
Zadanie 5. (1 pkt)
Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
A.\(25 \)
B.\(40 \)
C.\(45 \)
D.\(55 \)
Zadanie 6. (1 pkt)
Rozwiązaniem równania \( \frac{x-5}{7-x}=\frac{1}{3} \) jest liczba
A.\(-11 \)
B.\(\frac{11}{2} \)
C.\(\frac{2}{11} \)
D.\(11 \)
Zadanie 7. (1 pkt)
Jeśli \( a=\frac{b}{c-b} \), to
A.\(b=\frac{a+1}{a\cdot c} \)
B.\(b=\frac{a\cdot c}{a+1} \)
C.\(b=\frac{a\cdot c}{a-1} \)
D.\(b=\frac{a-1}{a\cdot c} \)
Zadanie 8. (1 pkt)
Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział 
A.\(\langle 0,3 \rangle \)
B.\((0, 8 \rangle \)
C.\(\langle -3,3 \rangle \)
D.\((-3, 8 \rangle \)
Zadanie 9. (1 pkt)
Największą wartością funkcji \( f \) jest
A.\(3 \)
B.\(0 \)
C.\(-3 \)
D.\(8 \)
Zadanie 10. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \( f(x)=(x-2)(x+4) \) . 
Zadanie 11. (1 pkt)
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \( ( -\infty, -3\rangle \) , może być określona wzorem
A.\(y=(x+2)^2-3 \)
B.\(y=-(x+3)^2 \)
C.\(y=-(x-2)^2-3 \)
D.\(y=-x^2+3 \)
Zadanie 12. (1 pkt)
Funkcja liniowa \( f(x)=ax+b\ \) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
A.\(a>0\) i \( b>0 \)
B.\(a\lt 0\) i \( b\lt 0 \)
C.\(a\lt 0\) i \( b>0 \)
D.\(a>0\) i \( b\lt 0 \)
Zadanie 13. (1 pkt)
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \( 35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy
A.\(a_{10}=\frac{7}{2} \)
B.\(a_{10}=4 \)
C.\(a_{10}=\frac{32}{5} \)
D.\(a_{10}=32 \)
Zadanie 14. (1 pkt)
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=-\frac{3^n}{4} \) dla \( n\ge 1 \). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\(-3 \)
B.\(-\frac{3}{4} \)
C.\(\frac{3}{4} \)
D.\(3 \)
Zadanie 15. (1 pkt)
Kąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa
A.\(1 \)
B.\(\frac{5\sqrt{13}}{26} \)
C.\(\frac{5\sqrt{13}}{13} \)
D.\(\sqrt{5} \)
Zadanie 16. (1 pkt)
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( 8 \). Wysokość tego trójkąta jest równa
A.\(4\sqrt{3} \)
B.\(8\sqrt{3} \)
C.\(12 \)
D.\(6 \)
Zadanie 17. (1 pkt)
Punkty \( A \), \( B \) i \( C \) leżą na okręgu o środku \( O \) (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy \( AOB \) ma miarę 
A.\(60^\circ \)
B.\(100^\circ \)
C.\(120^\circ \)
D.\(140^\circ \)
Zadanie 18. (1 pkt)
Odcinki \( BC \) i \( DE \) są równoległe i \( |AE|=4 \), \( |DE|=3 \) (zobacz rysunek). Punkt \( D \) jest środkiem odcinka \( AB \). Długość odcinka \( BC \) jest równa 
A.\(4 \)
B.\(6 \)
C.\(8 \)
D.\(16 \)
Zadanie 19. (1 pkt)
Dane są równania czterech prostych: 
Prostopadłe są proste:
Prostopadłe są proste: A.\(l\) i \( n \)
B.\(l\) i \( m \)
C.\(k\) i \( n \)
D.\(k\) i \( m \)
Zadanie 20. (1 pkt)
Punkt \( P=(-1,0) \) leży na okręgu o promieniu \( 3 \). Równanie tego okręgu może mieć postać
A.\((x+1)^2+y^2=9 \)
B.\(x^2+\left ( y-\sqrt{2} \right )^2=3 \)
C.\((x+1)^2+(y+3)^2=9 \)
D.\((x+1)^2+y^2=3 \)
Zadanie 21. (1 pkt)
Punkty \( A=(13,-12) \) i \( C=(15,8) \) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \( ABCD \). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie
A.\(S=(2,-20) \)
B.\(S=(14,10) \)
C.\(S=(14,-2) \)
D.\(S=(28,-4) \)
Zadanie 22. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości \( 4 \), jest równe 
A.\(256\pi \)
B.\(128\pi \)
C.\(48\pi \)
D.\(24\pi \)
Zadanie 23. (1 pkt)
Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \( 81\sqrt{3} \). Objętość graniastosłupa jest równa
A.\(27 \)
B.\(27\sqrt{3} \)
C.\(243 \)
D.\(243\sqrt{3} \)
Zadanie 24. (1 pkt)
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe
A.\(\frac{7}{8} \)
B.\(\frac{1}{2} \)
C.\(\frac{1}{4} \)
D.\(\frac{1}{8} \)
Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna liczb: \( x,13,7,5,5,3,2,11 \) jest równa \( 7 \). Mediana tego zestawu liczb jest równa
A.\(6 \)
B.\(7 \)
C.\(10 \)
D.\(5 \)
Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność \( -x^2-5x+14\lt 0 \).
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie \( x^3-6x^2-11x+66=0 \).
Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \( 24 \).
Zadanie 29. (2 pkt)
Kąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \).
Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest trójkąt \( ABC \), w którym \( |AC|>|BC| \). Na bokach \( AC \) i \( BC \) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \( D \) i \( E \), że zachodzi równość \( |CD|=|CE|\ \). Proste \( AB \) i \( DE \) przecinają się w punkcie \( F \) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \( |\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot |\sphericalangle AFD| \).
Wykaż, że \( |\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot |\sphericalangle AFD| \).
Zadanie 31. (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.
Zadanie 32. (5 pkt)
Miasta \( A \) i \( B \) są oddalone o \( 450 \) km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \( 75 \) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \( 18 \) km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
- prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)
- prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)
Zadanie 33. (4 pkt)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa. 
Zadanie 34. (4 pkt)
Zbiór \( M \) tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: \( 1, 2, 3, 4, 5 \). Ze zbioru \( M \) losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od \( 20 \), w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.