Matura podstawowa 2011 - maj

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba \(\pi \)

Pierwsza rata, która stanowi \(9\%\) ceny roweru, jest równa \(189\) zł. Rower kosztuje

Wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) jest równe iloczynowi

Układ równań \(\begin{cases} 4x+2y=10\\ 6x+ay=15 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

Rozwiązanie równania \(x(x+3)-49=x(x-4)\) należy do przedziału

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności \(\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt \frac{5x}{12}\) jest

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: \(3(x - 1)(x - 5) \le 0\) i \(x > 1\).

Wyrażenie \(\log_4(2x - 1)\) jest określone dla wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek

Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)

Funkcja liniowa określona jest wzorem \(f(x) = -\sqrt{2}x + 4\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_3=1\) i \(a_4=\frac{2}{3}\). Wtedy

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich. Wtedy

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy

Wartość wyrażenia \(\frac{\sin^2 38^\circ +\cos^2 38^\circ -1}{\sin^2 52^\circ +\cos^2 52^\circ +1}\) jest równa

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB| = 5, |AD| = 4, |AE| = 3\). Który z odcinków \(AB, BG, GE, EB\) jest najdłuższy?

Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(\alpha \) ma miarę

Wysokość rombu o boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60^\circ\) jest równa

Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\).

Styczną do okręgu \((x - 1)^2 + y^2 - 4 = 0\) jest prosta równaniu

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Objętość stożka o wysokości \(8\) i średnicy podstawy \(12\) jest równa

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:

Liczba osób w rodzinie	Liczba uczniów
\(3\)	\(6\)
\(4\)	\(12\)
\(x\)	\(2\)

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \(4\). Wtedy liczba \(x\) jest równa

Rozwiąż nierówność \(3x^2-10x+3\le 0\).

Uzasadnij, że jeżeli \(a + b = 1\) i \(a^2 + b^2 = 7\), to \(a^4 + b^4 = 31\).

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Odczytaj z wykresu i zapisz:

• zbiór wartości funkcji \(f\),
• przedział maksymalnej długości, w którym \(f\) jest malejąca.

Liczby \(x, y, 19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\). Na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Wykaż, że kąt \(AED\) jest prosty.

Ze zbioru liczb \(\{1 ,2, 3,..., 7\}\) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez \(3\).

Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.

Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).