Kąty środkowe i wpisane w okręgu
Poziom podstawowy
Kąt środkowy - to kąt, który ma wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu. 
Kąt środkowy \(\alpha \) oparty na łuku \(AB\)
Kąt środkowy może mieć wartość z przedziału \((0^\circ , 360^\circ )\). Oto przykład kąta środkowego wklęsłego: 
Kąt środkowy \(\beta \) oparty na łuku \(CD\)
Kąt wpisany - to kąt, który ma wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu. 
Kąt wpisany \(\alpha \) oparty na łuku \(AB\)
Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku
Miara kąta środkowego jest \(2\) razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy.
Kąt środkowy \(\alpha \) jest oparty na tym samym łuku \(AB\) co kąt wpisany \(\beta \). Zatem: \[\alpha =2\beta \] Zadanie 1.
Miara zaznaczonego na rysunku kąta \(\alpha \) jest równa 
A.\( 50^\circ \)
B.\( 60^\circ \)
C.\( 100^\circ \)
D.\( 130^\circ \)
Zadanie 2.
Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy 
A.\( 25^\circ \)
B.\( 30^\circ \)
C.\( 35^\circ \)
D.\( 40^\circ \)
Zadanie 3.
Punkty \(A, B, C\) leżące na okręgu o środku \(S\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. 
Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa
Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa A.\( 120^\circ \)
B.\( 90^\circ \)
C.\( 60^\circ \)
D.\( 30^\circ \)
Zadanie 4.
Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy 
A.\( 50^\circ \)
B.\( 60^\circ \)
C.\( 70^\circ \)
D.\( 80^\circ \)
Zadanie 5.
Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego \(ACB\) jest równa 
A.\( 65^\circ \)
B.\( 100^\circ \)
C.\( 115^\circ \)
D.\( 130^\circ \)
Zadanie 6.
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę 
A.\( 150^\circ \)
B.\( 120^\circ \)
C.\( 115^\circ \)
D.\( 85^\circ \)
Zadanie 7.
Na rysunku zaznaczono kąt środkowy okręgu o mierze \(250^\circ \) oraz kąt prosty pod jakim przecinają się dwie cięciwy. 
Zaznaczony kąt \(\alpha \) ma miarę
Zaznaczony kąt \(\alpha \) ma miarę A.\( 30^\circ \)
B.\( 35^\circ \)
C.\( 40^\circ \)
D.\( 45^\circ \)
Zadanie 8.
Punkty \(A, B, C, D\) dzielą okrąg na \(4\) równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego \(ACD\) jest równa 
A.\( 90^\circ \)
B.\( 60^\circ \)
C.\( 45^\circ \)
D.\( 30^\circ \)
Zadanie 9.
Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas: 
A.\(\beta =118^\circ \)
B.\(\beta =124^\circ \)
C.\(\beta =138^\circ \)
D.\(\beta =152^\circ \)
Zadanie 10.
Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa \( 180^\circ \). Jaka jest miara kąta środkowego?
A.\(60^\circ \)
B.\(90^\circ \)
C.\(120^\circ \)
D.\(135^\circ \)
Zadanie 11.
Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy
A.\( 50^\circ \)
B.\( 40^\circ \)
C.\( 30^\circ \)
D.\( 10^\circ \)
Zadanie 12.
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(\alpha \) ma miarę 
A.\( 80^\circ \)
B.\( 100^\circ \)
C.\( 110^\circ \)
D.\( 120^\circ \)
Zadanie 13.
Punkty \(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\) dzielą okrąg o środku \(S\) na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego \(BGE\) zaznaczonego na rysunku. 
A.\( 54^\circ \)
B.\( 72^\circ \)
C.\( 60^\circ \)
D.\( 45^\circ \)
Zadanie 14.
Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\) i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy \(7:5\). Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku. 
Zadanie 15.
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu o średnicy \(AB\) (tak jak na rysunku). Kąt \(\alpha \) ma miarę 
A.\( 40^\circ \)
B.\( 50^\circ \)
C.\( 60^\circ \)
D.\( 80^\circ \)
Zadanie 16.
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \( \frac{4}{9} \) długości okręgu, ma miarę
A.\(160^\circ \)
B.\(80^\circ \)
C.\(40^\circ \)
D.\(20^\circ \)
Zadanie 17.
Punkty \( A \), \( B \) i \( C \) leżą na okręgu o środku \( O \) (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy \( AOB \) ma miarę 
A.\(60^\circ \)
B.\(100^\circ \)
C.\(120^\circ \)
D.\(140^\circ \)
Zadanie 18.
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt \(\alpha\), zaznaczony na rysunku, ma miarę 
A.\( 50^\circ \)
B.\( 45^\circ \)
C.\( 25^\circ \)
D.\( 20^\circ \)
Zadanie 19.
Na okręgu o środku \( S \) leżą punkty \( A, B, C \text{ i } D \). Odcinek \( AB \) jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą \( AC \) jest równy \( 21^\circ \) (zobacz rysunek). 
Kąt \( \alpha \) między cięciwami \( AD \) i \( CD \) jest równy
Kąt \( \alpha \) między cięciwami \( AD \) i \( CD \) jest równy A.\( 21^\circ \)
B.\( 42^\circ \)
C.\( 48^\circ \)
D.\( 69^\circ \)
Zadanie 20.
Kąt \(ASB\) jest kątem środkowym w okręgu i jego miara wynosi \(100^\circ \). Miara zaznaczonego kąta \(\alpha \) jest równa 
A.\( 40^\circ \)
B.\( 45^\circ \)
C.\( 50^\circ \)
D.\( 60^\circ \)
Zadanie 21.
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20^\circ \) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
A.\( 30^\circ \)
B.\( 20^\circ \)
C.\( 10^\circ \)
D.\( 5^\circ \)
Zadanie 22.
W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. 
Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa
Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A.\( 40^\circ \)
B.\( 50^\circ \)
C.\( 20^\circ \)
D.\( 25^\circ \)
Zadanie 23.
Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki i są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ \)(zobacz rysunek). 
Wtedy
Wtedy A.\( \alpha =12^\circ \)
B.\( \alpha =17^\circ \)
C.\( \alpha =22^\circ \)
D.\( \alpha =34^\circ \)
Zadanie 24.
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa 
A.\( \alpha =25^\circ \)
B.\( \alpha =60^\circ \)
C.\( \alpha =70^\circ \)
D.\( \alpha =85^\circ \)