Jesteś tu: SzkołaFunkcjeFunkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza

Wprowadzenie do funkcji wykładniczej
Wprowadzenie do funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza ma wzór: \[f(x)=a^x\] gdzie \(a \gt 0\).
Nazwa funkcji wykładniczej pochodzi od tego, że \(x\) znajduje się w wykładniku.
Wykresem funkcji \(y = a^x\) jest krzywa, która zawsze przecina oś \(y\) w punkcie \(1\).
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy \(a\gt 1\) czy \(a\lt 1\). Pokażemy oddzielnie oba te przypadki.
Narysujemy wykres funkcji \(y = 2^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
\(y=2^x\)\(\frac{1}{2}\)\(1\)\(2\)\(4\)\(8\)
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a\gt 1\). Przykładowo: Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a\gt 1\):
  • Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
  • Zbiór wartości: \(\mathbb{R} ^{+}\).
  • Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.
Teraz zobaczymy jak wyglądają funkcje wykładnicze o podstawie \(a \lt 1\).
Narysujemy wykres funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)\(4\)\(2\)\(1\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{4}\)
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a \lt 1\). Przykładowo: Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a \lt 1\):
  • Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
  • Zbiór wartości: \(\mathbb{R}^{+}\).
  • Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
  • Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.