Równania wykładnicze
Równanie wykładnicze - to równanie w którym niewiadoma \(x\) występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykładowo: \[5^{2x}=125\] Równanie wykładnicze rozwiązujemy zapisując obie strony równania w postaci potęg o tych samych podstawach. Przykładowo: \[5^{2x} = 5^3\] Następnie porównujemy wykładniki: \[\begin{split} 2x &= 3\\[6pt]x&=\frac{3}{2} \end{split}\] Poniżej znajdują się kolejne przykłady coraz trudniejszych równań wykładniczych.
\[\begin{split} 2^{3x-7} &= 2^{2x+1}\\[6pt] 3x-7 &= 2x+1\\[6pt] x&=8 \end{split}\]
\[\begin{split} \frac{1}{3}^{2x+1} &= \frac{1}{3}^{13}\\[6pt] 2x+1&= 13\\[6pt] 2x&= 12\\[6pt] x&=6 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(6^{2x-1}=1\).
\(x=\frac{1}{2}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{1}{9}\cdot 3^{x-2}=9^{-\frac{2}{x}}\).
\(x=2\)
Rozwiąż równanie \((0{,}125)^{2x}=\frac{1}{16}\).
\(\frac{2}{3}\)
Rozwiąż równanie \((1{,}25)^{x^2-5}=0{,}512\).
Rozwiąż równanie \(\left(1\frac{1}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{5}{6}\right)^{x+1}\)
Rozwiąż równanie \((0{,}75)^{2x}=\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{5x-6}{x}}\)
Rozwiąż równanie \(2^{x^3+x^2}=32^{x+1}\).
\(x=-1\) lub \(x=-\sqrt{5}\) lub \(x=\sqrt{5}\)
Rozwiąż równanie \(\left(\sqrt[3]{4\sqrt[4]{4}}\right)^{6x+6}=8^{\frac{1}{3}x^2+3}\)
\(x=1\) lub \(x=4\)
Rozwiąż równanie \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-1}\cdot \left(\frac{25}{4}\right)^{-2x}=\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^{4x-4x^2}\)
\(x=-1\) lub \(x=\frac{1}{3}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{5^{x^3}}{\left(\sqrt[3]{5}\right)^{12}}=\frac{\left(\frac{1}{25}\right)^{-2x}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2x^2}}\)
\(x=-2 \lor x=-1 \lor x=2\)
Rozwiąż równanie \(\sqrt{(0{,}25)^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}-4}\)
\(x=24\)
Rozwiąż równanie \(2^{5x-1}\cdot 3^{3x-1}=4^x\cdot 6^{x+8}\)
\(x=\frac{9}{2}\)
Rozwiąż równanie \(3^{x+2}+3^{x+1}-3^x=13\)
\(x=\log_3\frac{13}{11}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{5\cdot 2^{3x}-2\cdot 4^x\cdot 4^{\frac{x}{2}}}{16-8^x}=1\)
\(x=\frac{2}{3}\)
Rozwiąż równanie \(4^x+6^x-2\cdot 9^x=0\)