Jesteś tutaj: SzkołaRównania i nierównościNierówności wykładnicze
◀ Nierówności kwadratowe

Nierówności wykładnicze

Aktualizacja: 19.09.2018 - temat w trakcie budowy.
Nierówności wykładnicze - to nierówności w których niewiadoma \(x\) występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykładowo: \[2^x\ge 8\]
Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, należy liczby obie strony nierówności zapisać w postaci potęgi o tej samej podstawie. Przykładowo: \[2^x\ge 2^3\] Następnie porównujemy wykładniki: \[x\ge 3\]
Uwaga! Jeżeli podstawa potęgi jest ułamkiem mniejszym od \(1\), to wówczas przechodząc do nierówności na wykładnikach należy zmienić znak nierówności na przeciwny.
Prosty przykład - z podstawą większą od \(1\): \[\begin{split} 3^{6x} &\gt 3^2\\[6pt] 6x&\gt 2\\[6pt] x&\gt \frac{1}{3} \end{split}\]
Trudniejszy przykład - z podstawą mniejszą od \(1\): \[\begin{split} \frac{1}{5}^{6x} &\gt \frac{1}{5}^2\\[6pt] 6x&\lt 2\\[6pt] x&\lt \frac{1}{3} \end{split}\] Zwróć uwagę na zmianę znaku w drugiej linijce. Zmiana nastąpiła ze względu na to, że podstawa potęgi była ułamkiem mniejszym od \(1\). Podstawa potęgi, to oczywiście \(\frac{1}{5}\).
Rozwiąż nierówność: \[\left(\frac{8}{27}\right)^{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{4^n}+...}\ge \left(\frac{16}{81}\right)^{|x+1|-|x|}\]
\(x\ge 0\)
Sąsiednie tematy