Definicja liczby zespolonej

Drukuj

Poziom studiów

Definicja

Liczbę zespoloną nazywamy liczbę postaci: \[a+bi\] gdzie: \(a,b\in \mathbb{R} \).
Nazewnictwo:

\(a\) - część rzeczywista liczby zespolonej,
\(b\) - część urojona liczby zespolonej,
\(i\) - jednostka urojona.

Liczbę zespoloną \(a+bi\) można traktować jako uporządkowaną parę: \[(a,b)\]

Przykłady liczb zespolonych z częścią rzeczywistą i urojoną: \[5+i,\quad 3-7i, \quad \sqrt{2}+\frac{1}{2}i\]

Przykłady liczb zespolonych tylko z częścią rzeczywistą: \[5,\quad 3-\sqrt{2}, \quad \pi+3\]

Przykłady liczb zespolonych tylko z częścią urojoną: \[2i,\quad -\frac{\sqrt{5}}{2}i, \quad (1-\sqrt{3})i\]

Żeby określić dowolną liczbę zespoloną, to wystarczy podać jej część rzeczywistą (\(a\)) i urojoną (\(b\)), czyli parę liczb rzeczywistych: \[(a,b)\]

Liczba zespolona o części rzeczywistej \(7\) i urojonej \(13\), to liczba: \(7 + 13i\).
Liczba zespolona o części rzeczywistej \(-1\) i urojonej \(2\), to liczba: \(-1 + 2i\).
Liczba zespolona o części rzeczywistej \(3\) i urojonej \(-1\), to liczba: \(3 - i\).
Liczba zespolona o części rzeczywistej \(0\) i urojonej \(-4\), to liczba: \(-4i\).

Ważne!
Część urojona liczby zespolonej, to jedynie współczynnik liczbowy stojący przy \(i\) (bez \(i\)).

Liczby zespolone często oznacza się symbolem \(z\). Możemy zapisać np.: \(z = 7 + 13i\).
To jest tylko takie umowne oznaczenie, podobnie jak np. liczby naturalne oznaczamy często literką \(n\).

Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną \(z = a + bi\). Wówczas mamy:

Część rzeczywistą liczby zespolonej \(z\) oznaczamy symbolem: \(\operatorname{Re}(z)\) (ang. Real).
Część urojoną liczby zespolonej \(z\) oznaczamy symbolem: \(\operatorname{Im}(z)\) (ang. Imaginary).

Zamiast pisać: "Część rzeczywista liczby zespolonej \(7 + 13i\) jest równa \(7\)" oraz "Część urojona liczby zespolonej \(7 + 13i\) jest równa \(13\)", zapiszemy krótko:
\(\operatorname{Re}(7 + 13i) = 7\)
\(\operatorname{Im}(7 + 13i) = 13\)
\(\operatorname{Re}(-5i) = 0\)
\(\operatorname{Im}(-5i) = -5\)
\(\operatorname{Re}(1 + \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}\)
\(\operatorname{Im}(1 + \sqrt{2}) = 0\)
\(\operatorname{Re}\Bigl (3 + \sqrt{5} + (1 - \pi )i \Bigl ) = 3 + \sqrt{5}\)
\(\operatorname{Im}\Bigl (3 + \sqrt{5} + (1 - \pi )i \Bigl ) = 1 - \pi\)

Liczba zespolona jako para liczb rzeczywistych (punkt)

Każdą liczbę zespoloną \(z = a + bi\) można utożsamiać z parą liczb rzeczywistych: \[(a,b)\]

Para \((2, 7)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 2 + 7i\).
Para \((7, 2)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 7 + 2i\).
Para \((15, -1)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 15 - i\).
Para \((0, 1)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = i\).
Para \((6, 0)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 6\).

Więcej o patrzeniu na liczby zespolone jak na punkty znajdziesz w rozdziale Interpretacja geometryczna.