Zestaw treningowy 1

Punkty \(A=(1,-2)\), \(C=(4,2)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa

Punkty \(A=(-3,-1)\), \(B=(2,5)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Pole tego trójkąta jest równe

Punkty \(B=(0,0)\), \(C=(3,0)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Obwód tego trójkąta jest równy

Wskaż nierówność która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej

Zaznacz na osi liczbowej punkty opisane równością \(|x + 1|=4\).

Zaznacz na osi liczbowej przedział opisany nierównością \(|x + 1| \le 4\).

Drut o długości \(27\) metrów pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy \(2:3:4\). Jaką długość ma najkrótsza z tych części?

Trzy kamienie ważą łącznie \(26\) kg. Stosunek ich wag jest równy \(1:5:7\). Ile waży najcięższy z kamieni?

Kasia kupiła w sklepie \(4\) bluzki. Stosunek ich cen jest równy \(2:3:6:15\). Jaka jest różnica w cenie między najdroższą a najtańszą bluzką, jeżeli wiadomo, że wszystkie kosztowały łącznie \(390\) zł?

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=-x+2\) z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(2\)?

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y = 3\) z okręgiem o środku w punkcie \(S(1, 2)\) i promieniu \(1\)?

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=2x+1\) z okręgiem o środku w punkcie \(S=(2, -2)\) i promieniu \(1\)?

Liczby: \(1, 3, x-11\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

Liczby: \(2x, 15, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

Liczby: \(2x+1, 7, 13x-2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\) Funkcja przedstawiona na rysunku 2. określona jest wzorem

Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v} = [0; -3]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem

Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v}=[5; 1]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\). Wtedy \(\cos{\alpha }\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)

Liczba \(\log 36\) jest równa

Liczba \(\log_{3}21-\log_{3}7\) jest równa

Liczba \(\log_{5}\! 10+\log_{5}\! 2{,}5\) jest równa

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie trzy cyfry są parzyste?

Wysokość stożka jest równa 15 cm, a promień podstawy 4 cm. Objętość stożka jest równa

Objętość stożka jest równa \(24\pi \) cm³, a promień podstawy \(6\) cm. Wysokość stożka jest równa

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu \(12\) cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie. Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa

W drużynie koszykarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: \(191\) cm, \(210\) cm, \(205\) cm, \(204\) cm, \(212\) cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

W drużynie siatkarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: \(207\) cm, \(205\) cm, \(205\) cm, \(197\) cm, \(212\) cm, \(216\) cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).

Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do \(l\).

Prosta \(l\) ma równanie \(2y-x=4\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).

Liczba rozwiązań równania \(\frac{x+3}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)(14+2x)}{x+7}=0\) jest równa

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{x}{4}+\frac{1}{6}\lt \frac{x}{3}\)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{2}{3}-\frac{3x}{5}\lt 7\)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(x-\frac{7x}{8}\lt \frac{x}{4}\)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(3 \times 4 \times 5\) ma długość

Dany jest prostopadłościan o bokach długości \(1\) cm, \(2\) cm i \(3\) cm. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość

Dany jest sześcian o przekątnej długości \(4\sqrt{3}\). Objętość tego sześcianu wynosi

Liczba \(x=-7\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-a)x+7\) dla

Liczba \(x=2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)= mx^2-m-9\) dla

Dla jakiego parametru \(m\) liczba \(x=1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)=2x^2+mx\)?

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2\ge 9\) jest

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2\ge 25\) jest

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+2x\ge -1\) jest

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(2(x-1)+x=x-3(2-3x)\)?

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(5x-7=0\cdot (x+11)-2\cdot (1-3x)\)?

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(2x^2-7x=-30-2x(1-x)\)?

Liczba \(2^{40}\cdot 4^{20}\) jest równa

Liczba \(7^7\cdot 7^8\) jest równa

Liczba \(5^{17}\cdot 6^{17}\) jest równa

Wskaż liczbę, której \(4\%\) jest równe \(8\).

Wskaż liczbę o \(8\%\) mniejszą od \(200\).

Przed obniżką rower kosztował \(230\) zł, a po obniżce \(207\) zł. Cenę roweru obniżono o

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =0{,}9\). Wówczas

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}8\). Wówczas

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha = \cos \alpha \). Wówczas

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(4\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-2)\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(1\), a drugi wyraz tego ciągu jest równy \(2\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(5\), a iloraz tego ciągu jest równy \(3\). Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\). Wtedy

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\) lub przez \(3\). Wtedy

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz \(a_2\) i \(a_5\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wartość wyrażenia \(a_{20}-a_{10}\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=n+|1-3n|\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wyrazy \(a_{37}\) i \(a_{103}\).

Rozwiąż równanie \(x^3-12x^2+x-12=0.\)

Rozwiąż równanie \(2x^3-16x^2-8x+64=0.\)

Rozwiąż równanie \(4x^4-9x^2=0.\)

Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że \(|\sphericalangle AED|=|\sphericalangle BAE|+|\sphericalangle CDE|\).

Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że jeżeli \(|EC|=|CD|\) oraz \(|EB|=|BA|\) to kąt \(AED\) jest prosty.

Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak jak na poniższym obrazku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że \(|AD|=|BE|\).

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(a\) i \(b\), spełniających \(\frac{4}{9}\lt \frac{a}{b}\lt \frac{5}{9}\).

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(x\) i \(y\), spełniających \(\frac{11}{13}\lt \frac{x}{y}\lt \frac{12}{13}\).

Podaj przykład liczb ujemnych \(x\) i \(y\), spełniających \(\frac{11}{13}\lt \frac{x^2}{y^2}\lt \frac{12}{13}\).

Dany jest prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) oraz prostokąt o bokach \(c\) i \(d\). Długość boku \(c\) to \(90\%\) długości boku \(a\). Długość boku \(d\) to \(120\%\) długości boku \(b\). Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) stanowi pole prostokąta o bokach \(c\) i \(d\).

Dany jest prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) oraz prostokąt o bokach \(c\) i \(d\). Długość boku \(c\) to \(70\%\) długości boku \(a\). Długość boku \(d\) to \(130\%\) długości boku \(b\). Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) stanowi pole prostokąta o bokach \(c\) i \(d\).

Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) oraz kwadrat o boku \(b\). Długość boku \(b\) jest dwa razy mniejsza od długości boku \(a\). Oblicz, ile razy pole trójkąta jest większe od pola kwadratu.

Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(540\) km. Pociąg jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta \(B\) do miasta \(A\) i jechał z prędkością o \(9\) km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m². Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m² oraz jest o \(5\) m dłuższy i o \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary ma pierwszy basen.

Prostokątna działka ma powierzchnię \(300\) m². Wiadomo, że jeden bok jest o \(5\) m dłuższy od drugiego. Ile kosztowało ogrodzenie tej działki, jeżeli za \(1\) m siatki właściciel zapłacił \(30\) zł?

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(11\) kul: \(7\) białych i \(4\) czarne. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(3\) białe i \(3\) czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(8\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(40^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(\sqrt{2}\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 6\(0^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(1\), a wysokość jest równa \(2\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.