Równanie \[ x^2+2mx-m^2+2=0 \] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy \[ \Delta \gt 0. \] Obliczamy deltę: \[ \Delta=(2m)^2-4\cdot 1\cdot(-m^2+2)=4m^2+4m^2-8=8m^2-8=8(m^2-1). \] Zatem delta jest dodatnia, jeżeli: \[ 8(m^2-1)\gt 0\\[6pt] m^2-1\gt 0\\[6pt] m^2\gt 1\\[6pt] \boxed{m\lt -1 \quad \lor \quad m\gt 1}. \] Teraz mając deltę możemy zapisać pierwiastki równania \(x^2+2mx-m^2+2=0\): \[ x_1=-m-\sqrt{2(m^2-1)},\qquad x_2=-m+\sqrt{2(m^2-1)}. \] Teraz możemy podstawić do warunku: \[ x_1+2x_2\lt 2. \] \[ \left(-m-\sqrt{2(m^2-1)}\right)+2\left(-m+\sqrt{2(m^2-1)}\right)\lt 2. \] \[ -m-\sqrt{2(m^2-1)}-2m+2\sqrt{2(m^2-1)}\lt 2\\[6pt] -3m+\sqrt{2(m^2-1)}\lt 2. \] \[ \sqrt{2(m^2-1)}\lt 3m+2. \] Lewa strona jest nieujemna, więc musi zachodzić: \[ 3m+2\gt 0, \] czyli \[ \boxed{m\gt -\frac{2}{3}}. \] Łącząc to z warunkiem \[ m\lt -1 \quad \lor \quad m\gt 1, \] otrzymujemy \[ \boxed{m\gt 1}. \] Dla \(m\gt 1\) obie strony nierówności \[ \sqrt{2(m^2-1)}\lt 3m+2 \] są nieujemne, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ 2(m^2-1)\lt (3m+2)^2. \] \[ 2m^2-2\lt 9m^2+12m+4\\[6pt] 7m^2+12m+6\gt 0 \] \[ \Delta=12^2-4\cdot 7\cdot 6=144-168=-24\lt 0. \] Ponieważ współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, mamy \[ 7m^2+12m+6\gt 0 \] dla każdego \(m\in\mathbb{R}\). Zatem ostatecznie wszystkie warunki są spełnione dla \[ \boxed{m\gt 1}. \]