Drukuj
Wyznacz asymptoty pionowe, poziome i ukośne funkcji \(f(x) = \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5}\).
Dziedzina funkcji, to: \( x \in \mathbb{R} \backslash \{-5\}\).
Sprawdzamy, czy istnieje asymptota pionowa w punkcie \(x_0 = -5\). Liczymy granice jednostronne:
Liczymy współczynniki \(a\) i \(b\): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x(x + 5)} = -2. \] Zatem \(a = -2\).
Teraz obliczamy współczynnik \(b\):
Zatem asymptotą ukośną jest: \[ y = -2x+7. \] Oto wykres:
Sprawdzamy, czy istnieje asymptota pionowa w punkcie \(x_0 = -5\). Liczymy granice jednostronne:
\[ \lim _{x \to -5^{+}} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = \frac{-50 + 15 + 1}{0^+} = \frac{-34}{0^+} = -\infty, \]
\[ \begin{split} &\lim _{x \to -5^{+}} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = \frac{-50 + 15 + 1}{0^+} = \\[6pt] &=\frac{-34}{0^+} = -\infty, \end{split} \]
oraz: \[ \lim _{x \to -5^{-}} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = \frac{-34}{0^-} = +\infty \] Zatem prosta \(x = -5\) jest asymptotą pionową (obustronną). Sprawdzamy czy istnieje asymptota pozioma. Liczymy granice funkcji w nieskończonościach:
Funkcja może mieć asymptotę ukośną \(y = ax + b\), ponieważ w liczniku mamy wyrażenie stopnia o \(1\) większego niż w mianowniku. \[ \lim _{x \to +\infty} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = \lim _{x \to +\infty} \frac{-2x - 3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = -\infty \]
\[\begin{split} &\lim _{x \to +\infty} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = \\[6pt] &=\lim _{x \to +\infty} \frac{-2x - 3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = -\infty \end{split} \]
Analogicznie: \[ \lim _{x \to -\infty} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} = +\infty \] Funkcja nie posiada asymptot poziomych, ponieważ granice w \( \pm \infty \) dążą do nieskończoności. Liczymy współczynniki \(a\) i \(b\): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x^2 - 3x + 1}{x(x + 5)} = -2. \] Zatem \(a = -2\).
Teraz obliczamy współczynnik \(b\):
\[\begin{split} &\lim_{x \to \pm\infty} \left(f(x) - ax\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} - (-2x)\right) =\\[6pt] &=\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{-2x^2 - 3x + 1 + 2x(x + 5)}{x + 5}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1+7x}{x + 5}\right) = 7. \end{split}\]
\[\begin{split} &\lim_{x \to \pm\infty} \left(f(x) - ax\right) =\\[6pt] &=\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{-2x^2 - 3x + 1}{x + 5} - (-2x)\right) =\\[6pt] &=\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{-2x^2 - 3x + 1 + 2x(x + 5)}{x + 5}\right) =\\[6pt] &=\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1+7x}{x + 5}\right) = 7. \end{split}\]
Zatem \(b=7\).Zatem asymptotą ukośną jest: \[ y = -2x+7. \] Oto wykres:
Strony z tym zadaniem
Asymptoty wykresu funkcjiSąsiednie zadania
Zadanie 4411Zadanie 4412Zadanie 4413 (tu jesteś)
Zadanie 4414Zadanie 4415© 2010-2026 Matemaks | Na górę strony | Kontakt | Regulamin | Polityka prywatności | Informacje o koncie premium | Strona główna