Wykres wielomianu

Zanim przystąpisz do rysowania wykresów wielomianów, musisz:

znać i rozumieć pojęcie funkcji
umieć rozkładać wielomiany na czynniki
umieć rozwiązywać równania wielomianowe
umieć określać krotności pierwiastków wielomianu

Do sprawdzania poprawności wykonanego wykresu możesz wykorzystywać program do rysowania wykresów funkcji.

Metoda rysowania wykresu wielomianu:

Przekształcamy wzór wielomianu do postaci iloczynowej.
Wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu.
Określamy krotności wyliczonych pierwiastków oraz stopień wielomianu.
Rysujemy wykres wielomianu od lewej strony do prawej według schematu:
- Rysujemy układ współrzędnych.
- Na osi x-ów zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe.
- Określamy miejsce z którego zaczniemy rysować nasz wykres:
  - Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
  - Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
  - Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
  - Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
- Rysujemy linię wykresu do najbliższego miejsca zerowego.
  Jeżeli dane miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, to w tym miejscu wykres przebija oś x-ów.
  Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, to w tym miejscu wykres odbija się od osi x-ów.
- Gdy już przejdziemy przez wszystkie miejsca zerowe, to kończymy rysowanie wykresu, pozwalając mu uciec do nieskończoności, po tej stronie osi x-ów, po której się znajduje.

Pomimo tego, że powyższy opis jest dość długi, to wykresy wielomianów rysuje się bardzo szybko i przyjemnie.

Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = x^2(x + 3)(x - 4)(x - 7)^3\).

Nasz wielomian dany jest już w postaci iloczynowej. Wyznaczamy zatem jego miejsca zerowe: \[\begin{split} x^2(x + 3)(x - 4)(x - 7)^3 &= 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x + 3 = 0 \quad &\lor \quad x - 4 = 0 \quad &\lor \quad x - 7 = 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x = -3 \quad &\lor \quad x = 4 \quad &\lor \quad x = 7\\[6pt] \end{split}\] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest \(7\) stopnia (bo suma wykładników \(2 + 1 + 1 + 3 = 7\)). Ponadto współczynnik liczbowy przy \(x^7\) jest dodatni (jest równy dokładnie \(1\)). Co prawda, w podanej postaci iloczynowej wielomianu nie widać bezpośrednio wyrażenia \(x^7\), ale łatwo zauważyć, że po wymnożeniu wszystkich nawiasów otrzymamy \(x^7\) ze współczynnikiem liczbowym równym \(1\). Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy \(x\) w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych:

Uwaga
Wielkość "górek i dołków", czyli tych miejsc gdzie wykres zawraca, nie ma znaczenia. Można wszystkie rysować tej samej wielkości. Na powyższym wykresie górka między pierwszym, a drugim miejscem zerowym jest największa, bo tak w rzeczywistości wygląda ten wykres. My jednak nie musimy tego wiedzieć i moglibyśmy równie dobrze narysować ją dużo mniejszą.

Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = x^3 - 4x\).

Przekształcamy wielomian do postaci iloczynowej: \[\begin{split}W(x) &= x(x^2 - 4)\\[6pt] W(x) &= x(x - 2)(x + 2)\end{split}\] Teraz wyznaczamy miejsca zerowe: \[x(x - 2)(x + 2) = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - 2 = 0 \quad \lor \quad x + 2 = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = 2 \quad \lor \quad x = -2 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest stopnia \(3\), a współczynnik liczbowy przy \(x^3\) jest dodatni (jest równy dokładnie \(1\)).

Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy \(x\) w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych:

Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = -6x^3 + 18x\).

Przekształcamy wielomian do postaci iloczynowej: \[\begin{split}W(x) &= -6x(x^2 - 3)\\[6pt] W(x) &= -6x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \end{split}\] Teraz wyznaczamy miejsca zerowe: \[ -6x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{3} = 0 \quad \lor \quad x + \sqrt{3} = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = \sqrt{3} \quad \lor \quad x = -\sqrt{3} \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest stopnia \(3\), a współczynnik liczbowy przy \(x^3\) jest ujemny (jest równy dokładnie \(-6\)).

Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego górnego rogu układu współrzędnych:

Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = (x + 4)^2(x + 1)(x - 3)\).

Wielomian jest dany w postaci iloczynowej, więc zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych: \[ (x + 4)^2(x + 1)(x - 3) = 0\\[6pt] x + 4 = 0 \quad \lor \quad x + 1 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0\\[6pt] x = -4 \quad \lor \quad x = -1 \quad \lor \quad x = 3 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest stopnia \(4\), a współczynnik liczbowy przy \(x^4\) (po wymnożeniu nawiasów) jest dodatni (jest równy dokładnie \(1\)).

Stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego górnego rogu układu współrzędnych:

Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = -2(x + 7)^2(x + 3)^3(x - 1)^4(x - 3)^5(x - 6)^2\).

Wielomian jest dany w postaci iloczynowej, więc zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych: \[-2(x + 7)^2(x + 3)^3(x - 1)^4(x - 3)^5(x - 6)^2 = 0\\[6pt] x + 7 = 0 \quad \lor \quad x + 3 = 0 \quad \lor \quad x - 1 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0 \quad \lor \quad x - 6 = 0\\[6pt] x = -7 \quad \lor \quad x = -3 \quad \lor \quad x = 1 \quad \lor \quad x = 3 \quad \lor \quad x = 6 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest stopnia \(16\), a współczynnik liczbowy przy \(x^{16}\) (po wymnożeniu nawiasów) jest ujemny (jest równy dokładnie \(-2\)).

Stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy \(x\) w najwyższej potędze jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych: