Jesteś tutaj: SzkołaWielomianyNierówności wielomianowe
◀ Wykres wielomianu

Nierówności wielomianowe

Zanim przystąpisz do rozwiązywania nierówności wielomianowych, musisz umieć:
Nierówności wielomianowe rozwiązujemy bardzo podobnie do równań wielomianowych.
Jedyna różnica polega na tym, że na końcu trzeba narysować wykres wielomianu i odczytać z niego rozwiązanie.
Oto przykładowe nierówności wielomianowe:
\(6x^2 + 10x - 1 \lt 0\)
\(x^4 + x^2 - 6x - 10 \le 0\)
\(x^6 + 4x^3 - 2 \gt 0\)
\(x^7 \ge 2x^3 + x\)
Nierówności wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. nierówności kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na tej stronie.
Metoda rozwiązywania nierówności wielomianowych stopnia \(3\) i wyższych jest następująca:
  • Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej stronie zostało zero.
    Od tego momentu lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór wielomianu, którego wykres będziemy chcieli naszkicować.
  • Wyznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu.
  • Rysujemy wykres wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązanie.
Rozwiąż nierówność \(x^3 + 5x^2 \lt 4x + 20\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20\] Teraz musimy wyznaczyć miejsca zerowe tego wielomianu. W tym celu rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} x^3 + 5x^2 - 4x - 20 &= 0\\[6pt] x^2(x + 5) - 4(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 4) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - 2)(x + 2) &= 0\\[6pt] x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - 2 = 0 \quad &\lor \quad x + 2 = 0\\[6pt] x = -5 \quad \lor \quad x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Wracamy teraz do naszej nierówności i patrzymy na jej znak: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] W tej nierówności występuje znak mniejszości (\(\lt\)), zatem jej rozwiązaniem będzie zbiór tych wszystkich argumentów \(x\), dla których wykres wielomianu jest poniżej osi \(x\)-ów.
Zaznaczamy na wykresie odpowiednie przedziały: Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór: \[x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 2)\]
Rozwiąż nierówność \(x^3 + 3x^2 - 3x - 9 \lt 0\).
Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = x^3 + 3x^2 - 3x - 9\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} x^3 + 3x^2 - 3x - 9 &= 0\\[6pt] x^2(x + 3) - 3(x + 3) &= 0\\[6pt] (x + 3)(x^2 - 3) &= 0\\[6pt] (x + 3)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) &= 0\\[6pt] x + 3 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{3} = 0 \quad &\lor \quad x + \sqrt{3} = 0\\[6pt] x = -3 \quad \lor \quad x = \sqrt{3} \quad &\lor \quad x = -\sqrt{3} \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak mniejszości (\(\lt\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się pod osią \(x\)-ów. Od razu zaznaczamy również odpowiednie przedziały na osi \(x\)-ów dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x \in (-\infty; -3) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\]
Rozwiąż nierówność \((-x - 2)(x - 3)(x - 6) \le 0\).
Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = (-x - 2)(x - 3)(x - 6)\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} (-x - 2)(x - 3)(x - 6) &= 0\\[6pt] -x - 2 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0 \quad &\lor \quad x - 6 = 0\\[6pt] x = -2 \quad \lor \quad x = 3 \quad &\lor \quad x = 6 \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak mniejszości bądź równości (\(\le\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się pod osią \(x\)-ów, wraz z miejscami zerowymi. Zaznaczamy również przedziały na osi \(x\)-ów, dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x ∈ \langle -2; 3\rangle \cup \langle 6; +\infty )\]
Rozwiąż nierówność \(-3x^3 + 15x \gt 0\).
Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = -3x^3 + 15x\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} -3x^3 + 15x &= 0\\[6pt] -3x(x^2 - 5) &= 0\\[6pt] -3x(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) &= 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{5} = 0 \quad &\lor \quad x + \sqrt{5} = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = \sqrt{5} \quad &\lor \quad x = -\sqrt{5} \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak większości (\(\gt\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się nad osią \(x\)-ów. Od razu zaznaczamy również odpowiednie przedziały na osi \(x\)-ów dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})\]
Jedną z liczb spełniających nierówność \((x-6)\cdot (x-2)^2\cdot (x+4)\cdot (x+10)\gt0\) jest
A.\( -5 \)
B.\( 0 \)
C.\( 3 \)
D.\( 5 \)