Sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej zredukowanej

Definicja
Mówimy, że macierz AMm×n(R) jest w postaci schodkowej, jeżeli A spełnia warunki:
  • każdy wiersz zerowy (składający się z samych zer) znajduje się poniżej każdego wiersza niezerowego,
  • w każdym wierszu pierwszy (licząc od lewej) niezerowy wyraz znajduje się w kolumnie stojącej na prawo od pierwszego niezerowego wyrazu wiersza poprzedniego.
Mówiąc intuicyjnie - macierz jest w postaci schodkowej, jeżeli w kolejnych wierszach występuje na początku coraz więcej zer (kolejne wiersze macierzy przypominają schodki).
Przykłady 1.
Oto kilka przykładowych macierzy zapisanych w postaci schodkowej:
Przykłady 2.
Oto kilka przykładowych macierzy które nie są zapisane w postaci schodkowej:
Definicja
Mówimy, że macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej, jeżeli spełnia warunki:
  • jest w postaci schodkowej,
  • w każdym wierszu pierwszy niezerowy wyraz jest równy 1, a ponadto inne wyrazy w jego kolumnie są zerami.
Przykłady 3.
Oto kilka przykładowych macierzy zapisanych w zredukowanej postaci schodkowej:
Fakt !
Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej zredukowanej!
Powyższy fakt jest niezwykle ważny, ponieważ dzięki niemu możemy rozwiązywać dowolnie skomplikowane układy równań liniowych. Wystarczy sprowadzić do postaci schodkowej zredukowanej macierz odpowiadającą takiemu układowi, a następnie odczytać z niej rozwiązanie.
Już w poprzednim rozdziale, podczas ćwiczenia operacji elementarnych, sprowadziliśmy macierz do postaci schodkowej zredukowanej. Możesz jeszcze raz prześledzić wszystkie operacje jakie wykonaliśmy w tym przykładzie.
Poniżej podam kolejne przykłady na sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej zredukowanej. Operacje elementarne na wierszach będziemy oznaczali tak jak we wspomnianym przykładzie.
Przykład 4. Sprowadź podaną macierz do postaci schodkowej zredukowanej.
Rozwiązanie:
Przykład 5. Sprowadź podaną macierz do postaci schodkowej zredukowanej.
Rozwiązanie:
Sąsiednie tematy
Sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej zredukowanej (tu jesteś)