Jesteś tutaj: SzkołaTrygonometriaRóżne zadania z trygonometrii
◀ Wzory trygonometryczne

Różne zadania z trygonometrii

Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 .
W tym nagraniu wideo omawiam typowe zadanie z trygonometrii, w którym mamy daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej, a musimy policzyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Zadania tego typu można rozwiązywać na kilka różnych sposobów - np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, albo jedynki trygonometrycznej. Plusy i minusy każdej z tych metod omawiam w tym nagraniu wideo.
Czas nagrania: 13 min.
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy
A.\( \frac{1}{4} \)
B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \)
C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \)
D.\( \frac{7}{16} \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{7}\). Wtedy
A.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{10}}{7} \)
B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{7} \)
C.\( \sin \alpha =\frac{4}{7} \)
D.\( \sin \alpha =\frac{3}{4} \)
A
Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{7}\). Wówczas cosinus tego kąta jest równy:
A.\( \frac{4}{7} \)
B.\( \frac{7}{4} \)
C.\( \frac{2\sqrt{7}}{7} \)
D.\( \frac{2\sqrt{10}}{7} \)
D
Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas
A.\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \)
B.\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \)
C.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \)
D.\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \)
D
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\). Wtedy \(\cos{\alpha }\) jest równy
A.\( \frac{1}{5} \)
B.\( \frac{2}{5} \)
C.\( \frac{3}{5} \)
D.\( \frac{4}{5} \)
C
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha\) jest równy
A.\( \frac{1}{4} \)
B.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \)
C.\( \frac{7}{16} \)
D.\( \frac{\sqrt{7}}{16} \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy
A.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\)
B.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\)
C.\( \sin \alpha =\frac{12}{5} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)
D.\( \sin \alpha =\frac{5}{12} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{4}{5}\). Oblicz \(\sin \alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha \).
\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\), \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\)
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy
A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B.\( \frac{2}{\sqrt{2}} \)
C.\( \sqrt{2} \)
D.\( 1 \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas
A.\( \cos \alpha =\sin \alpha \)
B.\( \cos \alpha >\sin \alpha \)
C.\( \cos \alpha \lt \sin \alpha \)
D.\( \cos \alpha =1-\sin \alpha \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}6\). Wówczas
A.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}4\)
B.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =1{,}5\)
C.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\)
D.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy
A.\( \frac{7}{6} \)
B.\( \frac{7\cdot 13}{120} \)
C.\( \frac{7}{\sqrt{120}} \)
D.\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy:
A.\( \frac{5}{12} \)
B.\( \frac{5}{13} \)
C.\( \frac{10}{13} \)
D.\( \frac{12}{13} \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\). Oblicz \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha =\frac{12}{13}\)
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(3\) i \(9\). Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:
A.\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( \frac{\sqrt{10}}{10} \)
D.\( \frac{\sqrt{10}}{30} \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz \(\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }\).
\(\frac{1}{3}\)
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(8\) i \(6\). Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy
A.\( \frac{3}{5} \)
B.\( \frac{3}{4} \)
C.\( \frac{4}{5} \)
D.\( \frac{4}{3} \)
C
W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:
A.\( \frac{\sqrt{17}}{17} \)
B.\( \frac{\sqrt{5}}{5} \)
C.\( \frac{4\sqrt{17}}{17} \)
D.\( \frac{1}{17} \)
C
Liczba \(\sin 60^\circ +\cos 60^\circ \) jest równa
A.\( 1 \)
B.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
C.\( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \)
D.\( \frac{2\sqrt{3}-3}{6} \)
C
Liczba \( \operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ \) jest równa
A.\(\sqrt{3}-1 \)
B.\(-\frac{\sqrt{3}}{6} \)
C.\(\frac{\sqrt{3}-1}{6} \)
D.\(\frac{2\sqrt{3}-3}{6} \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{3}{4}\). Wartość wyrażenia \(2-\cos ^2\alpha \) jest równa
A.\( \frac{25}{16} \)
B.\( \frac{3}{2} \)
C.\( \frac{17}{16} \)
D.\( \frac{31}{16} \)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =1\). Wówczas
A.\( \alpha \lt 30^\circ \)
B.\( \alpha =30^\circ \)
C.\( \alpha =45^\circ \)
D.\( \alpha >45^\circ \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin\alpha = 0{,}75\). Wówczas
A.\( \alpha \lt 30^\circ \)
B.\( \alpha =30^\circ \)
C.\( \alpha =45^\circ \)
D.\( \alpha >45^\circ \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\cos 47^\circ \). Wtedy miara kąta \(\alpha \) jest równa.
A.\( 6^\circ \)
B.\( 33^\circ \)
C.\( 47^\circ \)
D.\( 43^\circ \)
D
Kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)?
A.\(\alpha \lt 30^\circ \)
B.\(\alpha =30^\circ \)
C.\(\alpha =60^\circ \)
D.\(\alpha >60^\circ \)
A
W trójkącie prostokątnym \( ABC \) odcinek \( AB \) jest przeciwprostokątną i \( |AB|=13 \) oraz \( |BC|=12 \) . Wówczas sinus kąta \( ABC \) jest równy.
A.\(\frac{12}{13} \)
B.\(\frac{5}{13} \)
C.\(\frac{5}{12} \)
D.\(\frac{13}{12} \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa
A.\( -\frac{7}{4} \)
B.\( -\frac{1}{4} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =0{,}9\). Wówczas
A.\( \alpha \lt 30^\circ \)
B.\( \alpha =30^\circ \)
C.\( \alpha =45^\circ \)
D.\( \alpha >45^\circ \)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}8\). Wówczas
A.\( \alpha \lt 30^\circ \)
B.\( \alpha =30^\circ \)
C.\( \alpha =45^\circ \)
D.\( \alpha >45^\circ \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha = \cos \alpha \). Wówczas
A.\( \alpha =30^\circ \)
B.\( \alpha =45^\circ \)
C.\( \alpha =60^\circ \)
D.\( \alpha =90^\circ \)
B
Wartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa:
A.\( 2\sin^{2} 23^\circ \)
B.\( 2\sin^{2} 67^\circ \)
C.\( 1 \)
D.\( 0 \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).
\(0\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).
\(3\frac{2}{15}\)
Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.
\(2\frac{1}{4}\)
Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).
\(\alpha =60^\circ \)
W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
\(\frac{2}{5}\)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość \(a\) i \(b\), zaś naprzeciw boku \(a\) znajduje się kąt ostry \(\alpha\). Wykaż, że jeśli \(\operatorname{tg} \alpha = 2,\) to:\[\frac{(a+b)\cdot b}{a^2-b^2}=1\]
Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).
\(\frac{47}{15}\)
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).
\(\frac{1}{2}\)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x + \cos x + 1 = 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle\).
\(x=\frac{\pi }{2}\) lub \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{2\pi }{3}\) lub \(x=\frac{4\pi }{3}\)
Rozwiąż równanie \(\cos2x + 2 = 3\cos x\).
\(x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=2k\pi \) gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ \) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
\(\sin \alpha =\sqrt{\frac{22}{23}}\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2\alpha -1\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( \frac{5}{9} \)
D.\( 1 \)
B
W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy:
A.\( \frac{15}{7} \)
B.\( \frac{8}{15} \)
C.\( \frac{\sqrt{15}}{7} \)
D.\( \frac{7\sqrt{15}}{15} \)
C
Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.
\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)
W trójkącie prostokątnym o bokach \(6, 8, 10\), tangens najmniejszego kąta jest równy
A.\(\frac{3}{4} \)
B.\(1\frac{1}{3} \)
C.\(\frac{3}{5} \)
D.\(\frac{4}{5} \)
A
W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość \(25\), a najkrótszy \(7\). Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:
A.\(\frac{7}{24} \)
B.\(\frac{24}{7} \)
C.\(\frac{7}{25} \)
D.\(\frac{24}{25} \)
A
Jeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa
A.\(-\frac{11}{23} \)
B.\(\frac{24}{5} \)
C.\(-\frac{23}{11} \)
D.\(\frac{5}{24} \)
A
Kąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa
A.\(1 \)
B.\(\frac{5\sqrt{13}}{26} \)
C.\(\frac{5\sqrt{13}}{13} \)
D.\(\sqrt{5} \)
C
Kąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \).
\(\frac{2}{5}\)
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) wyrażenie \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha\) jest równe
A.\( 2\sin^{2} \alpha \)
B.\( 2\cos^{2}\alpha \)
C.\( 1 \)
D.\( 2 \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia \(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{11}{9} \)
C.\( \frac{17}{9} \)
D.\( \frac{11}{3} \)
A
Kosinus kąta ostrego rombu jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), bok rombu ma długość \(3\). Pole tego rombu jest równe
A.\( \frac{9}{2} \)
B.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)
C.\( \frac{9\sqrt{3}}{2} \)
D.\( 6 \)
A
Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości \(1\) oraz \(\sqrt{3}\). Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę
A.\( 60^\circ \)
B.\( 30^\circ \)
C.\( 45^\circ \)
D.\( 15^\circ \)
B
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\).
\(2\frac{3}{4}\)
Na płaszczyźnie dane są punkty \( A=( \sqrt{2}, \sqrt{6} ) \text{, }\ B=(0, 0) \text{ i }\ C=(\sqrt{2}, 0)\) . Kąt \( BAC \) jest równy
A.\(30^\circ \)
B.\(45^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(75^\circ \)
A
Liczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie
A.\( \cos 60^\circ \)
B.\( \cos 120^\circ \)
C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \)
D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \)
A
Jeżeli kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\), to \(\frac{2-\cos \alpha }{2+\cos \alpha }\) równa się
A.\( -1 \)
B.\( -\frac{1}{3} \)
C.\( \frac{3}{7} \)
D.\( \frac{84}{25} \)
C
W trójkącie, przedstawionym na rysunku poniżej, sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy
A.\( \frac{1}{5} \)
B.\( \frac{\sqrt{6}}{12} \)
C.\( \frac{5}{24} \)
D.\( \frac{2\sqrt{6}}{5} \)
D
W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy:
A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)
B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \)
C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \)
D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \)
B
Jeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to
A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \)
B.\( \cos \alpha =\frac{1}{2} \)
C.\( \cos \alpha =1 \)
D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \)
B
Drabinę o długości \(4\) metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości \(1{,}30\) m od tego muru (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha \), pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek
A.\( 0^\circ \lt \alpha \lt 30^\circ \)
B.\( 30^\circ \lt \alpha \lt 45^\circ \)
C.\( 45^\circ \lt \alpha \lt 60^\circ \)
D.\( 60^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy
A.\( \frac{5}{2} \)
B.\( \frac{\sqrt{21}}{4} \)
C.\( \frac{3}{5} \)
D.\( \frac{\sqrt{21}}{5} \)
D
Równanie \(2\sin x+3\cos x=6\) w przedziale \((0,2\pi )\)
A.nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B.ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C.ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D.ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
A
Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas
A.\( \cos \alpha =\frac{1}{4} \)
B.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} \)
C.\( \cos \alpha =\frac{7}{16} \)
D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} \)
B
W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy
A.\( \frac{5}{2} \)
B.\( \frac{2}{5} \)
C.\( \frac{2}{\sqrt{29}} \)
D.\( \frac{5}{\sqrt{29}} \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
\(\frac{2}{7}\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =0\). Wtedy
A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{3} \)
B.\( \operatorname{tg} \alpha =3 \)
C.\( \operatorname{tg} \alpha =\sqrt{3} \)
D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \)
D