Poziom podstawowy
Pan Jan spłacał kredyt w wysokości \(12\ 000\) zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o \(500\) zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa:
A.\( 2750 \)zł
B.\( 3000 \)zł
C.\( 3250 \)zł
D.\( 3500 \)zł
C
Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę \(40^\circ \). Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
A.\( 10^\circ \)
B.\( 20^\circ \)
C.\( 30^\circ \)
D.\( 40^\circ \)
B
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
A.\(40^\circ \)
B.\(50^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(70^\circ \)
C
Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
\(x=7\)
Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).
\(a_{15}=72\)
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \). Największy kąt tego czworokąta ma miarę:
A.\(150^\circ \)
B.\(135^\circ \)
C.\(120^\circ \)
D.\(60^\circ \)
C
Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \( 1 \) m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o \( 10 \) cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \( 5{,}9 \) m. Ile trójkątów przedstawia mural?
A.\( 49 \)
B.\( 50 \)
C.\( 59 \)
D.\( 60 \)
B
Liczby \(1, 5, 501\) są odpowiednio pierwszym, drugim i ostatnim wyrazem skończonego ciągu arytmetycznego. Ile wyrazów ma ten ciąg?
A.\( 499 \)
B.\( 126 \)
C.\( 125 \)
D.\( 101 \)
B
Dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,1)\). Punkt \(M=(p,q)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Liczby \(p, 2q, x\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wówczas:
A.\( x=1 \)
B.\( x=2 \)
C.\( x=3 \)
D.\( x=4 \)
D
Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
A.\( 77 \)
B.\( 84 \)
C.\( 91 \)
D.\( 98 \)
C
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe
A.\( 8 \)
B.\( 7 \)
C.\( 6 \)
D.\( 5 \)
Między liczby \(4\) i \(22\) wstaw pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.
Między liczby \(65\) i \(35\) wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.
Ile liczb trzeba wstawić między liczby \(16\) i \(250\), aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi \(1995\)?
Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się \(27\), suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi \(105\), a siódmy wyraz jest równy \(30\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.
Drugi, szósty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynoszą odpowiednio \(2, 22, 222\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.
Dane są dwa ciągi arytmetyczne: \(1, 4, 7,…\) oraz \(20, 21, 22,…\) Zsumowano \(n\) początkowych wyrazów pierwszego ciągu i \(n\) początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się, że otrzymano równe sumy. Wyznacz \(n\).
Liczbę \(210\) podziel na siedem składników tak, aby tworzyły one malejący ciąg arytmetyczny i największy z nich był trzy razy większy od najmniejszego składnika.
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się \(25\), a iloraz otrzymany po podzieleniu wyrazu dwunastego przez trzeci jest o \(2\) większy od ilorazu otrzymanego po podzieleniu wyrazu szesnastego przez ósmy. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Pewien pan spłacił dług w wysokości \(5100\) zł w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o \(50\) zł. Ile wynosiła pierwsza, a ile ostatnia rata?
Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi \(5^\circ\!\). Najmniejszy kąt ma miarę \(120^\circ\!\). Wyznacz liczbę boków wielokąta.
\(9\)
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy zeru. Oblicz \(S_{11}\).
\(S_{11}=0\)
Udowodnij, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.
Udowodnij, że jeżeli długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to przynajmniej dwa boki tego czworokąta mają taką samą długość.
E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.
Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy \((-3)\). Zapisz obliczenia.
\(840\)
O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=3\)
Poziom rozszerzony
Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego \(y=ax^2+bx+c\) jest \(-\frac{1}{5}\). Liczby \(a\), \(b\), \(c\) tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma wynosi \(24\). Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu.
\(x=-\frac{1}{3}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których pierwiastkami równania \((x^2-1)(x^2-m^2)=0\) są cztery kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
\(m=3\lor m=-3\lor m=\frac{1}{3}\lor m=-\frac{1}{3} \)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa \(0\). Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynnik \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
\(\begin{cases} a=-3 \\ b=-6 \\ c=8 \end{cases} \) lub \(\begin{cases} a=-12 \\ b=39 \\ c=-28 \end{cases} \) lub \(\begin{cases} a=-6 \\ b=3 \\ c=-10 \end{cases} \)