Suma ciągu arytmetycznego

Oblicz sumę

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są \(a_1=2\) i \(a_2=4\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla którego suma pierwszych \(n\) wyrazów wyraża się wzorem \(S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{11}{2}n\). Wówczas wartość wyrażenia \(\frac{a_5+a_7}{2}\) jest równa

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \( 35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1 = 7\) i \(a_8 = -49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=-11\) i \(a_9=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(1245\) oraz \(a_1=-2\). Wtedy

W ciągu arytmetycznym \(a_1=3\) oraz \(a_{20}=7\). Wtedy suma \(S_{20}= a_1+a_2+...+a_{19}+ a_{20}\) jest równa

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(26\), a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(70\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Dane są dwa ciągi arytmetyczne: \(1, 4, 7,…\) oraz \(20, 21, 22,…\) Zsumowano \(n\) początkowych wyrazów pierwszego ciągu i \(n\) początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się, że otrzymano równe sumy. Wyznacz \(n\).

W ciągu arytmetycznym \(a_n\) dla \(n\ge 1\), \(a_1=8\) oraz \(a_1+a_2+a_3=33\). Wtedy suma \(a_4+a_5+a_6\) jest równa

Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).

W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\) pierwszy wyraz \(a_1\) jest równy \(7\) oraz ostatni wyraz \(a_n\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_3=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge 1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_n=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy: \[a_5=?\]

W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wyznacz liczbę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane:

• \(S_n=407,\ \ a_1=62,\ \ a_n=12;\)
• \(S_n=1016{,}5,\ \ a_1=22,\ \ a_n=85;\)
• \(S_n=420,\ \ a_1=7,\ \ r=3;\)
• \(S_n=204,\ \ r=6,\ \ a_n=49;\)
• \(S_n=578,\ \ a_1=58,\ \ r=-3;\)
• \(S_n=456,\ \ r=-12,\ \ a_n=15;\)

Wyznacz różnicę \(r\) wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane:

• \(S_n=518,\ \ a_1=50,\ \ n=14;\)
• \(S_n=728,\ \ n=16,\ \ a_n=63;\)
• \(S_n=1675,\ \ n=25,\ \ a_n=1;\)
• \(S_n=2241,\ \ n=27,\ \ a_n=148;\)

Znajdź sumę trzydziestu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(9\) (zaczynając od \(9\)).

Znajdź sumę pięćdziesięciu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(12\) (zaczynając od \(24\)).

Znajdź sumę:

• wszystkich liczb całkowitych od \(0\) do \(150\) włącznie,
• wszystkich liczb parzystych od \(0\) do \(150\) włącznie,
• wszystkich liczb nieparzystych od \(0\) do \(150\).

Suma stu kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez \(7\) dają resztę \(2\), wynosi \(43950\). Wyznacz najmniejszą i największą z tych liczb.

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu, którego suma \(n\) początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

• \(S_n=3n^2-n;\)
• \(S_n=3n^2-4n;\)
• \(S_n=5n-n^2;\)
• \(S_n=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}n^2;\)

Wykaż, że każdy z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym.

Trójwyrazowy ciąg \((x, y - 4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym \((a_1,a_2,...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dana jest wzorem \(S_n=\frac{n^2-25n}{4}\), gdzie \(n\ge 1\). Różnica ciągu arytmetycznego \((b_n)\) jest równa \(\frac{3}{2}\) oraz jego piąty wyraz jest równy \(8\). Wyznacz sumę \(17\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((c_n)\), wiedząc, że \(c_n=2b_n-a_8\), gdzie \(n\ge 1\).

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem: \(a_n=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa