Ciągi liczbowe

Ciąg geometryczny

Definicja i przykłady ciągu geometrycznego

Definicja

Ciąg geometryczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej \(q\) razy.
Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego

Najważniejsze wzory

Niech będzie dany ciąg geometryczny \((a_n)\). Wtedy zachodzą następujące wzory:
Wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}\] lub \[a_n=a_k\cdot q^{n-k}\] Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu: \[S_n=\begin{cases} a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\quad \text{dla } q\ne 1\\ a_1\cdot n\quad \text{ dla } q = 1 \end{cases} \] Jeśli liczby \(x,y,z\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi wzór: \[y^2=x\cdot z\]
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące ciągu geometrycznego.
Czas nagrania: 40 min.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...\] Iloraz ciągu jest równy \(2\), czyli: \(q=2\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(1\), czyli: \(a_1=1\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(2\), czyli: \(a_2=2\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(4\), czyli: \(a_3=4\).
Czwarty wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli: \(a_4=8\).
Piąty wyraz ciągu jest równy \(16\), czyli: \(a_5=16\).
Dziewiąty wyraz ciągu jest równy \(256\), czyli: \(a_9=256\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[3, 9, 27, 81, 243,...\] Iloraz ciągu jest równy \(3\), czyli: \(q=3\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(3\), czyli: \(a_1=3\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(9\), czyli: \(a_2=9\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(27\), czyli: \(a_3=27\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[2, 6, 18, 54, 162,...\] Iloraz ciągu jest równy \(3\), czyli: \(q=3\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(2\), czyli: \(a_1=2\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli: \(a_2=6\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(18\), czyli: \(a_3=18\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[4, -20, 100, -500, 2500,...\] Iloraz ciągu jest równy \(-5\), czyli: \(q=-5\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(4\), czyli: \(a_1=4\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(-20\), czyli: \(a_2=-20\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(100\), czyli: \(a_3=100\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[6, 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8},...\] Iloraz ciągu jest równy \(\frac{1}{2}\), czyli: \(q=\frac{1}{2}\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli: \(a_1=6\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(3\), czyli: \(a_2=3\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(\frac{3}{2}\), czyli: \(a_3=\frac{3}{2}\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[5,\ 5\sqrt{2},\ 10,\ 10\sqrt{2},\ 20,\ 20\sqrt{2},...\] Iloraz ciągu jest równy \(\sqrt{2}\), czyli: \(q=\sqrt{2}\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(5\), czyli: \(a_1=5\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(5\sqrt{2}\), czyli: \(a_2=5\sqrt{2}\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(10\), czyli: \(a_3=10\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\):\[8,8,8,8,8,...\] Iloraz ciągu jest równy \(1\), czyli: \(q=1\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli: \(a_1=8\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli: \(a_2=8\).
Przykłady ciągów niegeometrycznych: \[1, 2, 3, 4, 5, 6,...\] \[1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,...\] \[1, 2, -2, -5, 6, 17, 7, 1,...\]
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego
a)
\(6,\ \ 12,\ \ 24,...\)
b)
\(8,\ -4,\ \ 2,...\)
c)
\(\frac{2}{5},\ \ \frac{1}{2},\ \ \frac{5}{8},...\)
d)
\(22,\ \ 2{,}2,\ \ 0{,}22,...\)
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1\), wiedząc, że:
a)
\(q=5,\ a_7=125;\)
b)
\(q=\frac{1}{2},\ a_{13}=\frac{1}{8192};\)
c)
\(q=-\frac{2}{3},\ a_6=\frac{32}{27};\)
d)
\(q=3,\ a_8=10935;\)
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego \(q\), wiedząc, że:
a)
\(a_1=6, a_5=\frac{2}{27};\)
b)
\(a_1=-1, a_{10}=-512;\)
c)
\(a_1=100, a_5=65{,}61;\)
d)
\(a_1=0{,}5, a_6=512;\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie