Poziom studiów
- \(\displaystyle \int x^5\,dx\)
- \(\displaystyle \int\bigl(3x^2\sqrt{x}-2x\sqrt[3]{x^4}+1\bigr)\,dx\)
- \(\displaystyle \int 4x^3\,dx\)
- \(\displaystyle \int (x^2+2x+1)\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{3}{\sqrt{x}}\,dx\)
- \(\displaystyle \int (5x^7-7x^5-3x+2)\,dx\)
- \(\displaystyle \int\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{x}}-\tfrac{3}{\sqrt[3]{x}}+\tfrac{4}{\sqrt[4]{x}}+1\bigr)\,dx\)
- \(\displaystyle \int (2x^2-1)^2\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{x+2\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int (5\cos x - 2\sin x)\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{2}{x^2}\,dx\)
- \(\displaystyle \int (2e^x-1)\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^3+2x^2-4x-5}{x^4}\,dx\)
- \(\displaystyle \int 2^x\,dx\)
- \(\displaystyle \int \sqrt{x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int (e^x+3^x)\,dx\)
- \(\displaystyle \int \sqrt[3]{x^4}\,dx\)
- \(\displaystyle \int (4^{x+1}+5^{2x})\,dx\)
- \(\displaystyle \int (2\sqrt{x^5}-3)\,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{3^x+5^x}{4^x}\,dx\)
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int x^5\,dx \] Zastosujemy wzór na całkowanie potęgi: \[ \int x^5\,dx = \frac{x^{6}}{6} + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int\bigl(3x^2\sqrt{x}-2x\sqrt[3]{x^4}+1\bigr)\,dx \] Zamieniamy pierwiastki na potęgi:
\(\sqrt{x}=x^{\frac12},\;\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}\).
Mamy więc: \[ \int\bigl(3x^{2+\frac12}-2x^{1+\frac{4}{3}}+1\bigr)\,dx = \int\bigl(3x^{\frac{5}{2}}-2x^{\frac{7}{3}}+1\bigr)\,dx. \] Całkujemy wyraz po wyrazie: \[ \int 3x^{\frac{5}{2}}\,dx = 3\cdot\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} = \frac{6}{7}x^{\frac{7}{2}}, \] \[ \int -2x^{\frac{7}{3}}\,dx = -2\cdot\frac{x^{\frac{10}{3}}}{\frac{10}{3}} = -\frac{3}{5}x^{\frac{10}{3}}, \] \[ \int 1\,dx = x. \] Suma: \[ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{2}} - \frac{3}{5}x^{\frac{10}{3}} + x + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int 4x^3\,dx \] Całkujemy: \[ \int 4x^3\,dx = 4\cdot\frac{x^4}{4} = x^4 + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (x^2+2x+1)\,dx \] Rozdzielamy sumę: \[ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\quad \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2,\quad \int 1\,dx = x. \] Suma: \[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{3}{\sqrt{x}}\,dx \] Zapisujemy potęgowo: \(3x^{-\frac12}\).
Całkujemy: \[ \int 3x^{-\frac12}\,dx = 3\cdot\frac{x^{\frac12}}{\frac12} = 6x^{\frac12} + C = 6\sqrt{x} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (5x^7 - 7x^5 - 3x + 2)\,dx \] Całkujemy składnikami: \[ \int 5x^7\,dx = 5\cdot\frac{x^8}{8} = \frac{5}{8}x^8, \] \[ \int -7x^5\,dx = -7\cdot\frac{x^6}{6} = -\frac{7}{6}x^6, \] \[ \int -3x\,dx = -3\cdot\frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2, \] \[ \int 2\,dx = 2x. \] Suma: \[ \frac{5}{8}x^8 - \frac{7}{6}x^6 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{x}}-\tfrac{3}{\sqrt[3]{x}}+\tfrac{4}{\sqrt[4]{x}}+1\bigr)\,dx \] Zamieniamy na potęgi:
\(2x^{-\frac12} - 3x^{-\frac13} + 4x^{-\frac14} + 1\).
Całkujemy: \[ \int 2x^{-\frac12}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\frac12}}{\frac12} = 4x^{\frac12}, \] \[ \int -3x^{-\frac13}\,dx = -3\cdot\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = -\frac{9}{2}x^{\frac{2}{3}}, \] \[ \int 4x^{-\frac14}\,dx = 4\cdot\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}}, \] \[ \int 1\,dx = x. \] Suma: \[ 4\sqrt{x} - \frac{9}{2}x^{\frac{2}{3}} + \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}} + x + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (2x^2-1)^2\,dx \] Rozwijamy kwadrat: \[ (2x^2-1)^2 = 4x^4 - 4x^2 + 1. \] Całkujemy: \[ \int 4x^4\,dx = 4\cdot\frac{x^5}{5} = \frac{4}{5}x^5, \] \[ \int -4x^2\,dx = -4\cdot\frac{x^3}{3} = -\frac{4}{3}x^3, \] \[ \int 1\,dx = x. \] Suma: \[ \frac{4}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{x+2\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\,dx \] Zamieniamy: \(x^{1-\frac13}+2x^{\frac12-\frac13}-x^{-\frac13}\), czyli \(x^{\frac23}+2x^{\frac16}-x^{-\frac13}\).
Całkujemy: \[ \int x^{\frac23}\,dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}, \] \[ \int 2x^{\frac16}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} = \frac{12}{7}x^{\frac{7}{6}}, \] \[ \int -x^{-\frac13}\,dx = -\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}. \] Suma: \[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{12}{7}x^{\frac{7}{6}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{1}{x}\,dx \] Znamy wzór: \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (5\cos x - 2\sin x)\,dx \] Całkujemy: \[ \int 5\cos x\,dx = 5\sin x, \] \[ \int -2\sin x\,dx = 2\cos x. \] Suma: \[ 5\sin x + 2\cos x + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{2}{x^2}\,dx \] Zapisujemy \(2x^{-2}\).
Całkujemy: \[ \int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1} = -\frac{2}{x} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (2e^x - 1)\,dx \] Całkujemy: \[ \int 2e^x\,dx = 2e^x, \] \[ \int -1\,dx = -x. \] Suma: \[ 2e^x - x + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{x^3+2x^2-4x-5}{x^4}\,dx \] Rozdzielamy: \[ x^{-1} + 2x^{-2} - 4x^{-3} - 5x^{-4}. \] Całkujemy: \[ \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \] \[ \int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1}, \] \[ \int -4x^{-3}\,dx = -4\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = 2x^{-2}, \] \[ \int -5x^{-4}\,dx = -5\cdot\frac{x^{-3}}{-3} = \frac{5}{3}x^{-3}. \] Suma: \[ \ln\lvert x\rvert - 2x^{-1} + 2x^{-2} + \frac{5}{3}x^{-3} + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int 2^x\,dx \] Znamy wzór: \[ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \sqrt{x}\,dx \] Zapisujemy \(x^{\frac12}\).
Całkujemy: \[ \int x^{\frac12}\,dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (e^x+3^x)\,dx \] Całkujemy: \[ \int e^x\,dx = e^x,\quad \int 3^x\,dx = \frac{3^x}{\ln 3}. \] Suma: \[ e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + C. \]
- Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \sqrt[3]{x^4}\,dx \] Zapisujemy \(x^{\frac{4}{3}}\).
Całkujemy: \[ \int x^{\frac{4}{3}}\,dx = \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (4^{x+1}+5^{2x})\,dx \] Ponieważ \(4^{x+1}=4\cdot4^x,\;5^{2x}=25^x\):
\[ \int 4\cdot4^x\,dx = 4\cdot\frac{4^x}{\ln4}, \] \[ \int 25^x\,dx = \frac{25^x}{\ln25}. \] Suma: \[ \frac{4\cdot4^x}{\ln4} + \frac{25^x}{\ln25} + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int (2\sqrt{x^5}-3)\,dx \] Zapisujemy \(2x^{\frac{5}{2}}-3\).
Całkujemy: \[ \int 2x^{\frac{5}{2}}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{2}}, \] \[ \int -3\,dx = -3x. \] Suma: \[ \frac{4}{7}x^{\frac{7}{2}} - 3x + C. \] - Chcemy obliczyć całkę: \[ \int \frac{3^x+5^x}{4^x}\,dx \] Przepisujemy: \(\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^x + \bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^x\).
Całkujemy: \[ \int \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^x\,dx = \frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^x}{\ln\!\tfrac{3}{4}}, \] \[ \int \bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^x\,dx = \frac{\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^x}{\ln\!\tfrac{5}{4}}. \] Suma: \[ \frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^x}{\ln\!\tfrac{3}{4}} + \frac{\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^x}{\ln\!\tfrac{5}{4}} + C. \]
W tym nagraniu omawiam najprostsze całki nieoznaczone. Pokazuję intuicję jaka stoi za pojęciem całki oraz najważniejsze wzory pozwalające liczyć proste całki.
Czas nagrania: 17 min.
Oblicz całkę \(\int \frac{20x^{10}-1}{x^7}dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{x^3+1}{x}dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{(x^2+1)^2}{x^3}dx\).
Oblicz całkę \(\int \left(\sqrt[7]{\sqrt{x^{-3}}}+1\right)dx\).
Oblicz całkę \(\int 2e^x\left ( 1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} \right )dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{dx}{\sin^{2} x\cos^{2} x}\).
Oblicz całkę \(\int \operatorname{ctg}^{2} x\ dx \).