Całkowanie przez podstawianie
Jeżeli funkcję \(f(x)\) można zapisać w postaci: \[f(x) = g(h(x))\cdot h'(x)\] gdzie funkcja \(h(x)\) ma ciągłą pochodną, to wówczas: \[ \int f(x)\ dx =\int g(t)\ dt \] ponieważ: \[ \begin{split} \int f(x)\ dx &=\int g(h(x))\cdot h'(x)\ dx=\\[6pt] &=\begin{vmatrix}\text{teraz wykonujemy podstawienie:}\\t=h(x)\\dt=h'(x)\ dx\end{vmatrix} =\\[6pt] &=\int g(t)\ dt \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int 2\sin (4x)\ dx\).
Oblicz całkę \(\int \cos^{3} x\sin x\ dx\).
Oblicz całkę \(\int \sin{x}\cos^{10}{\!x}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \sin{x}\cos^{10}{\!x}dx &= \begin{vmatrix} t=\cos{x} \\ dt=-\sin{x}dx \\ -dt=\sin{x}dx \\\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int -t^{10}dt=\\[6pt] &=-\int t^{10}dt=\\[6pt] &=-\frac{t^{11}}{11}+C=\\[6pt] &=-\frac{\cos^{11}{\!x}}{11}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{7x+2}{7x^2+4x-3} dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{x-5}{x^2-10x+9}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \frac{x-5}{x^2-10x+9}dx &=\int \frac{(x-5)dx}{x^2-10x+9}=\\[6pt] &=\begin{vmatrix} t=x^2-10x+9 \\ dt=(2x-10)dx \\ dt=2(x-5)dx \\ \frac{dt}{2}=(x-5)dx\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int \frac{\frac{dt}{2}}{t}=\\[6pt] &=\int \frac{dt}{2t}=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\ln |t|+C=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\ln |x^2-10x+9|+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{dx}{\cos^{2}(2x+1)}\).
Oblicz całkę \(\int \frac{dx}{\cos^{2\!}{(1-9x)}}\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \frac{dx}{\cos^{2\!}{(1-9x)}} &=\begin{vmatrix}t=1-9x \\ dt=-9dx \\-\frac{dt}{9}=dx\end{vmatrix} =\\[6pt] &=\int \frac{-\frac{dt}{9}}{\cos^{2\!}{t}}=\\[6pt] &=-\frac{1}{9}\int \frac{dt}{\cos^{2\!}{t}}=\\[6pt] &=-\frac{1}{9}\operatorname{tg}{t}+C=\\[6pt] &=-\frac{1}{9}\operatorname{tg}(1-9x)+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{2xdx}{\cos^{2}(1-3x^2)}\).
Oblicz całkę \(\int x^2e^{7x^3-1} dx\).
Oblicz całkę \(\int {e}^{10x^2-4}xdx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int {e}^{10x^2-4}xdx &=\begin{vmatrix}t=10x^2-4 \\ dt=20xdx \\\frac{dt}{20}=xdx\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int e^t\frac{dt}{20}=\\[6pt] &=\frac{1}{20}\int e^t\ dt=\\[6pt] &=\frac{1}{20}e^t + C=\\[6pt] &=\frac{1}{20}e^{10x^2-4} + C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{x^4dx}{\sqrt[7]{x^5+1}}\).
Oblicz całkę \(\int\frac{-5x}{\sqrt[3]{x^2 +2}}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int\frac{-5x}{\sqrt[3]{x^2 +2}}dx &=\begin{vmatrix} t=x^2+2 \\ dt = 2xdx \\ dx= \frac{dt}{2x}\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int\frac{-5x}{\sqrt[3]{t}}\frac{dt}{2x}=\\[6pt] &=\int \frac{-5dt}{2\sqrt[3]{t}}=\\[6pt] &=-\frac{5}{2}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\\[6pt] &=-\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\\[6pt] &=-\frac{15}{4}t^{\frac{2}{3}}+C=\\[6pt] &=-\frac{15}{4}\left ( x^2+2 \right )^{\frac{2}{3}}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^3}dx\).
Oblicz całkę \(\int x^{-2}e^{\frac{1}{x}}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int x^{-2}e^{\frac{1}{x}}dx &=\begin{vmatrix} t=\frac{1}{x}\\dt=-x^{-2}dx\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int-e^tdt=\\[6pt] &=-e^{t}+C=\\[6pt] &=-e^{\frac{1}{x}}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int 5^{3x+1}dx \).
Oblicz całkę \(\int 3^{4x-1}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int 3^{4x-1}dx &=\begin{vmatrix} t=4x-1 \\ dt=4dx \\dx = \frac{1}{4}dt\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int 3^t\cdot \frac{1}{4}dt=\\[6pt] &=\frac{1}{4}\int3^tdt=\\[6pt] &=\frac{1}{4}\cdot \frac{3^t}{\ln 3}+C=\\[6pt] &=\frac{3^{4x-1}}{4\ln 3}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{x^{-1}}{\ln x}dx \).
Oblicz całkę \(\int \frac{2}{x\ln x}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \frac{2}{x\ln x}dx &=\begin{vmatrix} t=\ln x \\ dt=\frac{1}{x}dx \\ dx=xdt\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int \frac{2}{x\cdot t}xdt=\\[6pt] &=\int \frac{2}{t}dt=\\[6pt] &=2\ln |t| + C=\\[6pt] &=2\ln |\ln x| + C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}}\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}} &=\begin{vmatrix} t=x-1\\dt=dx\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int\frac{dt}{\sqrt[3]{t}}=\\[6pt] &=\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\\[6pt] &=\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\\[6pt] &=\frac{3}{2}(x-1)^{\frac{2}{3}}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{1-\ln x}{x}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \frac{1-\ln x}{x}dx &=\begin{vmatrix} t=1-\ln x\\dt=-\frac{1}{x}dx\\dx=-xdt\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int\frac{t}{x}\cdot \left ( -xdt \right )=\\[6pt] &=-\int t\ dt=\\[6pt] &=-\frac{t^2}{2}+C=\\[6pt] &=-\frac{(1-\ln x)^2}{2}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}\).
Oblicz całkę \(\int \left (e^{6x}+\frac{1}{e^x}\right )dx\).
Oblicz całkę \(\int \frac{e^{4x}-e^{-x}}{4}dx\).
Obliczamy całkę metodą podstawiania: \[ \begin{split} \int \frac{e^{4x}-e^{-x}}{4}dx &=\int \frac{\dfrac{e^{5x}}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}}{4}dx=\\[6pt] &=\int \frac{e^{5x}-1}{4e^x}dx=\\[6pt] &=\begin{vmatrix} t=e^x\\dt=e^xdx\\dx=\frac{dt}{e^x}\end{vmatrix}=\\[6pt] &=\int \frac{t^5-1}{4t}\cdot \frac{dt}{t}=\\[6pt] &=\frac{1}{4}\int\frac{t^5-1}{t^2}dt=\\[6pt] &=\frac{1}{4} \left ( \int t^3 dt-\int t^{-2} dt \right )=\\[6pt] &=\frac{1}{4} \left ( \frac{t^4}{4}-\frac{t^{-1}}{-1}+C \right )=\\[6pt] &=\frac{t^4}{16}+\frac{1}{4t}+C=\\[6pt] &=\frac{t^5+4}{16t}+C=\\[6pt] &=\frac{e^{5x}+4}{16e^x}+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{dx}{4+x^2}\).