Całki

Wzory całkowe wybranych funkcji

\[\begin{split} &\int k\ dx=kx+C\\[6pt] &\int x^n\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,\quad n\ne -1\\[6pt] &\int \frac{1}{x}\ dx=\ln |x|+C\\[6pt] &\int \frac{1}{ax+b}\ dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C\\[6pt] &\int \cos x\ dx=\sin x + C\\[6pt] &\int \sin x\ dx=-\cos x + C\\[6pt] &\int \operatorname{tg} x=-\ln |\cos x|+C\\[6pt] &\int \operatorname{ctg} x=\ln |\sin x|+C\\[6pt] &\int \cos ax\ dx=\frac{1}{a}\sin ax + C\\[6pt] &\int \sin ax\ dx=-\frac{1}{a}\cos ax + C\\[6pt] &\int \frac{1}{\cos^{2} x}\ dx=\tan x + C\\[6pt] &\int \frac{1}{\sin^{2} x}\ dx=-\cot x + C\\[6pt] &\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C\\[6pt] &\int \frac{1}{x^2-a^2}\ dx=\frac{1}{2a} \ln \left |\frac{x-a}{x+a} \right| + C\\[6pt] &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx=\arcsin \frac{x}{a}+C\\[6pt] &\int \frac{1}{\sqrt{x^2+q}}\ dx=\ln \left |x+\sqrt{x^2+q} \right|+C\\[6pt] &\int e^x\ dx= e^x+C\\[6pt] &\int a^x\ dx= \frac{a^x}{\ln a}+C\\[6pt] &\int \sinh x \ dx= \cosh x+C\\[6pt] &\int \cosh x \ dx= \sinh x+C\\[6pt] &\int \frac{1}{\sinh^{2} x} \ dx= -\coth x+C\\[6pt] &\int \frac{1}{\cosh^{2} x} \ dx= \tanh x+C \end{split}\]
Poniżej prezentuję te same wzory z dodatkowymi informacjami i przykładami.

Wzór 1

Całka funkcji stałej: \[\int k\ dx=kx+C\] Przykład 1: \[\int 7\ dx=7x+C\] Przykład 2: \[\int dx=x+C\]

Wzór 2

Całka funkcji wielomianowej i potęgowej: \[\int x^n\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,\quad n\ne -1\] Przykład 1: \[\int x^2\ dx=\frac{1}{3}x^{3}+C\] Przykład 2: \[\int x^{-5}\ dx=-\frac{1}{4}x^{-4}+C\]

Wzór 3

Całka funkcji \(y=\frac{1}{x}\): \[\int \frac{1}{x}\ dx=\ln |x|+C\] Inny zapis: \[\int x^{-1}\ dx=\ln |x|+C\]

Wzór 4

Całka funkcji \(y=\frac{1}{ax+b}\): \[\int \frac{1}{ax+b}\ dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C\] Przykład: \[\int \frac{1}{2x+5}\ dx=\frac{1}{2}\ln |2x+5|+C\]

Wzór 5

Całki podstawowych funkcji trygonometrycznych: \[\int \cos x\ dx=\sin x + C\] \[\int \sin x\ dx=-\cos x + C\] \[\int \operatorname{tg} x=-\ln |\cos x|+C\] \[\int \operatorname{ctg} x=\ln |\sin x|+C\]

Wzór 6

Całka funkcji \(y=\cos ax\): \[\int \cos ax\ dx=\frac{1}{a}\sin ax + C\] Przykład: \[\int \cos 3x\ dx=\frac{1}{3}\sin 3x + C\]

Wzór 7

Całka funkcji \(y=\sin ax\): \[\int \sin ax\ dx=-\frac{1}{a}\cos ax + C\] Przykład: \[\int \sin 5x\ dx=-\frac{1}{5}\cos 5x + C\]

Wzór 8

\[\int \frac{1}{\cos^{2} x}\ dx=\tan x + C\]

Wzór 9

\[\int \frac{1}{\sin^{2} x}\ dx=-\cot x + C\]

Wzór 10

Całka: \[\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C\] Przykład: \[\int \frac{1}{x^2+4}\ dx=\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\]

Wzór 11

Całka: \[\int \frac{1}{x^2-a^2}\ dx=\frac{1}{2a} \ln \left |\frac{x-a}{x+a} \right| + C\] Przykład: \[\int \frac{1}{x^2-9}\ dx=\frac{1}{6} \ln \left |\frac{x-3}{x+3} \right| + C\]

Wzór 12

Całka: \[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx=\arcsin \frac{x}{a}+C\] Przykład: \[\int \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}\ dx=\arcsin \frac{x}{4}+C\]

Wzór 13

Całka: \[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+q}}\ dx=\ln \left |x+\sqrt{x^2+q} \right|+C\] Przykład: \[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}\ dx=\ln \left |x+\sqrt{x^2+5} \right|+C\]

Wzór 14

Całka: \[\int e^x\ dx= e^x+C\]

Wzór 15

Całka: \[\int a^x\ dx= \frac{a^x}{\ln a}+C\] Przykład: \[\int 2^x\ dx= \frac{2^x}{\ln 2}+C\]

Wzór 16

Całki funkcji hiperbolicznych: \[\int \sinh x \ dx= \cosh x+C\] \[\int \cosh x \ dx= \sinh x+C\] \[\int \frac{1}{\sinh^{2} x} \ dx= -\coth x+C\] \[\int \frac{1}{\cosh^{2} x} \ dx= \tanh x+C\]
Tematy nadrzędne i sąsiednie